Что лежит в основании призмы. Прямая призма — Гипермаркет знаний

Методы построения геометрических тел в пространстве | Конструктивный рисунок натюрморта из геометрических тел

Что лежит в основании призмы. Прямая призма — Гипермаркет знаний

Оглавление

Куб

Куб является самой первой и важной геометрической фигурой, с которой сталкивается любой, кто начинает учиться рисовать. Лучшей модели для развития объемно-пространственного мышления не существует. Рисунок куба формирует видение перспективы, является важнейшим источником знаний и умений рисования. В основе будущих проектных решений дизайнера почти всегда лежит куб или комбинация из кубов.

Главное в рисунке куба – задать трехмерность, построить его основание с учетом перспективного сокращения и ракурса.

А далее просто почти механически построить все грани, соблюдая пропорции и перспективную параллельность линий, сходящихся в точке на линии горизонта.

Конечно, для того, чтобы все это выполнить, рисунок куба должен выглядеть конструкцией или, другими словами, прозрачным каркасом. Итак, рисуем каркас куба.

К сожалению, для некоторых начинающих куб является неким неинтересным, простым и бесполезным для рисования предметом.

Позже часть таких «рисовальщиков» осознает объем собственной трагедии и будет затрачивать колоссальное количество энергии, чтобы заново научиться видеть законы перспективы.

А другие так никогда и не увидят собственной слепоты. Потому что начинается все с рисунка обычного кубика.

Шестигранная призма

Шестигранная призма представляет собой геометрическое тело (с одной стороны, сечение этой формы выглядит как четырехугольник, а с другой стороны, это шестиугольник, причем вписывающийся в круг).

Выполнить конструктивный рисунок этого геометрического примитива в пространстве очень сложно, если не увидеть в его конструктивной основе четырехгранную призму («кирпич» ), конструкция которой схожа с конструкцией куба и которую вы уже умеете рисовать.

Обратите внимание, что, выполняя рисунок этого геометрического примитива, мы уже стараемся понять его конструкцию как сумму более простых примитивов, таких как четырехгранная призма и две трехгранных призмы. Выражение «если не увидеть» очень точно отражает суть конструктивного рисунка.

Выполните каркасный рисунок «кирпича» (то есть четырехгранной призмы) в пространстве, соблюдая пропорциональные отношения высоты, ширины и глубины. На торцевых поверхностях «кирпича» проведите диагонали.

В месте пересечения диагоналей мы получим две точки, которые будут находиться в центре торцевых поверхностей и через которые мы сможем построить перпендикулярное сечение.

Оно будет проходить через фигуру четырехгранной призмы.

Проведем отрезки из вершин четырехгранной призмы, практически повторяющие направление диагоналей, до пересечения с секущей плоскостью и получим еще четыре вершины шестигранной призмы. Соединим вершины между собою при помощи линий и получим конструктивный (каркасный) рисунок шестигранной призмы.

Если рисунок окажется не совсем верным, ищите причину в пропорциональных отношениях сторон четырехгранной призмы.

Шар

Шар является геометрическим примитивом. Он трехмерен, имеет все стороны трехмерного пространства, вписывается в куб. Вершины шара, вписанного в куб, находятся в центре поверхностей сторон куба (ил. 10).

Самый простой способ конструктивного построения шара выполняется так. Проведите две осевые линии, вертикальную и горизонтальную. От центра пересечения осевых линий – согласно пропорциональным отношениям шара с другими геометрическими предметами (если они есть) – отложите одинаковые отрезки на осевых линиях и постройте окружность.

Получится двухмерная поверхность в виде круга, но она не является шаром, потому что у нее отсутствует третье измерение, то есть глубина. Чтобы создать объем, надо горизонтальную осевую линию раскрыть до состояния квадратной плоскости в перспективе.

Положение этой плоскости в пространстве будет зависеть от вашей точки зрения на этот предмет. Круг должен вписываться в квадрат: постройте окружность (сечение), которая будет в виде эллипса, через четыре точки.

Таким образом, мы получили конструктивный рисунок шара в пространстве.

Можно развернуть и вертикальную осевую линию до состояния плоскости.

Тогда конструктивный рисунок шара будет нас информировать не только о том, как мы воспринимаем геометрическую фигуру сверху или снизу, но и о том, как воспринимаем ее справа или слева.

И, конечно, существует в этом еще один значительный плюс: мы получим две вершины шара. Одна вершина укажет на самую высокую точку шара в пространстве, а другая – на точку опоры, если шар находится на плоскости.

Цилиндр

Цилиндр также является геометрическим примитивом. Форма цилиндра образуется прямоугольным сечением, повернутым в пространстве на 360 градусов вокруг оси. Функцию оси выполняет одна из сторон этого прямоугольного сечения. Если рассмотреть формы сечения цилиндра (а их две), то одна из них представляет собой прямоугольник, а другая – круг.

Чтобы построить цилиндр у находящийся вертикально, надо провести вертикальную осевую линию, отложить на осевой пропорциональный отрезок, равный высоте цилиндра. Затем через крайние точки отрезка провести две горизонтальные осевые линии, строго перпендикулярные вертикальной.

На горизонтальных осевых линиях отложите пропорциональные отрезки, равные ширине цилиндра, так, чтобы вертикальная осевая линия делила эти отрезки поровну. Соедините крайние точки горизонтальных отрезков между собой.

Получите двухмерную прямоугольную фигуру с отношениями сторон, подобными сторонам цилиндра.

Создайте третье измерение. Постройте два эллипса (окружность в перспективе) через четыре точки. Верхний эллипс будет уже нижнего эллипса, так как находится в большем перспективном сокращении.

Основная проблема при построении цилиндра состоит не в создании эллипсов, а в их осевых линиях, потому что к их построению — по неопытности — серьезно не относятся. Нарушение в построении вертикальной осевой линии приводит к асимметрии и неустойчивости формы цилиндра.

Нарушение же в построении горизонтальной осевой линии приводит к невозможности нарисовать правильный эллипс. А ведь все просто: вертикальная осевая линия рисунка соответствует вертикальной стороне листа рисунка, то же можно сказать и про горизонтальные осевые линии.

Особую сложность в конструктивном построении представляет форма цилиндра, лежащего на боковой поверхности.

Круглое сечение цилиндра вписывается в квадрат (который относительно легко можно построить в пространстве) по четырем точкам.

Значит, нам легче сначала построить в пространстве четырехгранную призму, соответствующую пропорциональным отношениям сторон цилиндра, а затем вписать в нее цилиндр.

Как найти осевую линию, равную ширине цилиндра, в этом ракурсе? Построив в пространстве четырехгранную призму, найдите в ней срединную линию, проведите линию под прямым углом к срединной линии через центр боковой поверхности. На этой прямой находится отрезок, равный ширине цилиндра в этом ракурсе. Получается, что боковая поверхность цилиндра строится по шести точкам.

Почему мы так много говорим о построении цилиндра? Потому что вы с ним будете сталкиваться на каждом шагу, будет ли это предмет быта, драпировка, голова человека или фигура человека. Несмотря на все возрастающую сложность заданий по рисунку, вам придется абстрагировать сложные пластические формы до простых понятий, если вы, конечно, хотите их передать в рисунке.

Продолжаем тему конструктивного рисунка натюрморта из геометрических тел. Первое, что надо построить в рисунке натюрморта после создания композиции листа — это плоскость, на которой находятся предметы натюрморта.

От того, как правильно вы нарисуете положение плоскости в пространстве, зависит успех всего рисунка.

На плоскости создаются как бы следы предметов, и только после того, как вы убедитесь, что они действительно лежат на этой плоскости, приступайте к дальнейшему построению, то есть возводите каркас.

В большинстве натюрмортов некоторые геометрические предметы находятся на втором уровне. Это значит, что куб находится на плоскости стола, а на нем стоит конус. Пока вы не определите положение куба на плоскости стола, конус на кубе не построить.

Типичной ошибкой является плоскость, опрокинутая на нас — предметы натюрморта, врезанные в плоскость стола (а на старших курсах — человеческие фигуры), будто скатываются с горки.

Все дальнейшие построения предметов натюрморта выполняются с помощью методов, приведенных выше.

Конструктивное построение дает ясное понимание объема предметов натюрморта в пространстве и выполняется при помощи линий. Нарисованные предметы выглядят прозрачными каркасами.

Далее Работа над линиями

Источник: https://gallerix.ru/learn/konstruktivnyj-risunok-natyurmorta-iz-geometricheskix-tel/4/

Урок-практикум

Что лежит в основании призмы. Прямая призма — Гипермаркет знаний

Урок-практикумпо геометрии 11 класс

потеме: «Объем призмы, пирамиды и конуса»

(2часа)

ПоучебникуЛ.С.Атанасян и др.

«Геометрия10-11» – М.: «Просвещение», 2010г.

Авторучитель математики

высшейкатегории

МАОУ«МСОШ №20»

Миасскогогородского округа

Челябинскойобласти

ЛевинаТатьяна Анатольевна

Урок-практикумпо геометрии 11 класс

потеме: «Объем призмы, пирамиды и конуса»

(2часа)

Целиурока: 1. Систематизировать знания,полученные на предыдущих уроках изакрепить умения решать задачи навычисление объемов.

2.Развить образное мышление и пространственноевоображение, показать красоту геометриии увлечь учащихся геометрическимизадачами.

3.Воспитать чувство ответственности,коллективизма, самостоятельность,умение отстаивать свою точку зрения.

Планурока: 1. «Разминка».

2. Проверка домашнегозадания.

3. Творческое задание«Аукцион».

4. Индивидуальные задания.Работа в группах.

5. Выступления с отчетами.

6. Решение задач по готовымчертежам.

7. Самостоятельная работа.

8. Итоги урока. Домашнеезадание.

Ходурока:

-Учитель: Мы начинаем урок – практикум.Тема урока (на доске). Цель нашего урокасегодня: систематизировать знания,полученные на предыдущих уроках изакрепить умения решать задачи навычисление объемов.

Развить образноемышление и пространственное воображение,показать красоту геометрических задач.Воспитать чувство ответственности,коллективизма, самостоятельность,умение отстаивать свою точку зрения.

Втетрадях – число, тему урока.

-Но работать мы сегодня будем особо –каждый ряд в классе – это команда, группаединомышленников, сплоченных единойцелью, быть сегодня самой лучшей.Активность групп будет оценена. (1 мин)

1.Мы с вами изучили формулы объемов призмы,пирамиды, цилиндра и конуса. Для тогочтобы работать дальше вспомним формулы– «Разминка». На доске справанаходятся части равенства, а слева –оставшиеся части. Ваша задача восстановитьформулу, прочитать её, выбратьсоответствующую модель и показать наней основные элементы.

Vкон Vус.кон Vприз

Vус.пир

Vцил

Vпир

(Полученныеформулы весь урок находятся на открытойдоске!) (3 мин)

2.Проверка домашнего задания (поготовым чертежам объяснить решение)

(повремени-? Можно перенести на конец урока)

704

Дано:конус, hкон=dосн=H

Найти:Vкон

Решение:Vкон= . По условиюR=H/2, h=H.

Vкон=π(H/2)2H=πH3/12

Ответ:πH3/12

708

Дано:усеченный конус, R=6м, r=3м,l=5м.

Найти:Vус.кон

Решение:Vус.кон=

Изпрямоугольной трапеции ОО1А1А:Н=4м.

Vус.кон===84πм3

Ответ:84π м3 (5мин)

3.А теперь я предлагаю вам творческоезадание «Аукцион»: по готовому чертежуи данным элементам определить какиееще величины можно определить? Активностькоманд отмечается.

Задача1:

Дана правильнаячетырехугольная пирамида. Боковое ребро5см,

высотапирамиды 4см. Какие величины можно найтив этой пирамиде?

Задача2:

Дан цилиндр. Диаметрцилиндра равен его высоте = 3см,

Какие величиныможно найти в этом цилиндре?

(4мин)

4.А теперь переходим к основному этапу –работа в группах. 2-3 парты сдвигаем иприсаживаемся вокруг. Первые партыосвобождаем для индивидуальной работы.

Индивидуальные заданияполучают 3 ученика («слабых»). Им нужно:1) решить задачу на нахождение объема,2) выполнить необходимые измерениявычислить объем полученной модели.

1карточка: 1) Дан цилиндр. Радиус цилиндра3см. Его высота 5см.

Найти объем цилиндра. (45πсм3)

2) Модель конуса. Выполнитьнеобходимые измерения.

Вычислить объем конуса. (π см3)

2 карточка: 1) Дана правильнаячетырехугольная пирамида. Сторонаоснования 3см. Высотапирамиды 5см. Найти объем пирамиды. (15 см3)

2) Модель цилиндра. Выполнитьнеобходимые измерения.

Вычислить объем цилиндра. (π см3)

3карточка: 1) Дан конус. Радиус конуса3см. Его высота 5см.

Найти объем конуса. (15π см3)

2) Модель правильнойтреугольной призмы.

Выполнить необходимыеизмерения. Вычислить объем призмы.

(см3)

(Послевыполнения работы ученики присоединяютсяк группам!)

Работа в группах (инструкция):Каждая группа получает задачу, которуюнужно решить, записать решение в тетради,затем оформить чертеж, условие и краткоерешение на доске.

После оформления надоске группа готова к отчету. Выступает1 ученик от группы, объясняет решениесвоей задачи.

Остальные учащиесязаписывают решение в тетради, задаютвопросы, предлагают свое решение,сомневаются или одобряют решение группы.

Задание№1(сильная группа)

Восновании пирамиды лежит треугольниксо сторонами 5см,5сми 6см.Боковые гранипирамиды наклонены к плоскости основанияпод углом 60º. Найдите объем конуса, вписанного в эту пирамиду.

(Решение:Vкон=⅓πR2H.Высота конуса = высоте пирамиды. Т.к.

боковые грани наклонены под углом 60º кплоскости основания, то вершина пирамиды(S)проецируется в центр (O)вписанной в треугольник окружности,значит радиус конуса = радиусу вписаннойв треугольник окружности.

По формуле:r=S/pSтр=1/2·6·4=36см2,p=8см, r=36/8=1,5см=OH=Rкон.

Из треугольника SOH:SH=3см,SO=4,5см=Hкон.Тогда Vкон=⅓·π ·(1,5)2·4,5=10,125πсм3)

Задание№2(средняя группа)

Восновании пирамиды лежит треугольниксо сторонами 13, 12 и 5см. Все боковыеребра наклонены к плоскости основанияпод углом 45º. Найдите объем пирамиды.

(Решение:Vпир=⅓Sосн·H.Треугольник АBC в основаниипрямоугольный, т.к. 132=122 +52.Sтр=1/2ав=1/2·12·5=30см2.Т.к.

все боковые ребра наклонены кплоскости основания под углом 45º, товершина пирамиды (S)проецируется в центр (О) описанной околотреугольника окружности.

По формуле:R=abc/4S=(13·12·5)/(4·30)=6,5смили треугольник прямоугольный, тоцентр описанной окружности лежит насередине гипотенузы, т.е. R=13/2=6,5см.Из треугольника SAO:R=AO=SO=Hпир=6,5см.Тогда Vпир=⅓·Sосн·H=⅓·30·6,5=65см3)

Задание№3(сильная группа)

В цилиндрвписана призма, основанием которойслужит прямоугольный треугольник. Внем катет равен 6см, а прилежащий угол60º. Диагональ большей боковой гранипризмы составляет с плоскостью еёоснования угол в 45º. Найдите объемцилиндра.

(Решение:Vцил=πR2·H.

Треугольник АBC в основаниипризмы прямоугольный, то центр описаннойокружности(O- центроснования цилиндра) лежит на серединегипотенузы, по условию из треугольникаABC: гипотенуза BC=12см,т.е. R=12/2=6см.

Большая боковая грань призмы – эта грань,содержащая гипотенузу прямоугольноготреугольника. По условию из треугольникаВВ1С: ВВ1=Hпир=ВС=12см. Тогда Vцил=πR2·H=π·62·12=432πсм3)

5.Выступления с отчетами. (Вместе с подготовкой– 32 мин)

6.Решение задач по готовым чертежам.

Задача№1

Данпрямоугольный треугольник с катетами2см и 5см. Один конус получен вращениемэтого треугольника вокруг меньшегокатета, а другой конус – вращениемтреугольника вокруг большего катета.Равны ли объемы этих конусов? Если нет,то какой – больше?

(нет; большетот, у которого радиус больше, т.е. объем1 конуса)

Задача№2

Прямоугольнаятрапеция с основаниями 5см и 8см и большейбоковой стороной 5см вращается околоменьшего основания. Найдите объем телавращения.

(телосостоит из цилиндра и вынутого из негоконуса,

Vтела=Vцил – Vкон=π42·8– ⅓π42·3=128π – 16π=112πсм3)

Задача№3

Стороныоснований правильной четырехугольнойусеченной пирамиды равны 12см и 6см.Апофема боковой грани 5см. Найдите объемусеченной пирамиды.

(Sб.осн=122=144см2,Sм.осн=62=36см2,из прямоугольной трапеции: высотапирамиды H=4см,Vус.пир= = =·4·(144+36+)=336см3)

Задача №4

Восновании пирамиды лежит равнобедренныйтреугольник с боковой стороной 2см иоснованием 2,4см. Боковые ребрапирамиды наклонены к плоскости основанияпод углом 45º. Найдите объем пирамиды.

(Vпир=⅓·Sосн·H, Sосн=1/2а·h=1/2·2,4·1,6=1,92см2.Из условия

Нпир=Rопис.окр.Изформулы R=abc/4S=(2·2·2,4)/(4·1,92)=

=1,25см= Нпир.Тогда Vпир=⅓·Sосн·H=⅓·1,92·1,25=0,8см3)

(13минут)

7.Самостоятельная работа №8. (по времени – ? решить 1-2-3 задачи повыбору)

1вариант

1)Дана правильная треугольная пирамида.Её боковое ребро равное 10см составляетс плоскостью основания угол φ = 30º.Найдите объём пирамиды.

2)Стороны оснований правильнойчетырехугольной усеченной пирамидыравны 4см и 6см. Площадь диагональногосечения равна 15см2. Найдите объёмусеченной пирамиды.

3)Основанием пирамиды является прямоугольныйтреугольник, катеты которого 24дм и 18дм.Каждое боковое ребро равно 25дм. Пирамидапересечена плоскостью, параллельнойплоскости основания и делящей боковоеребро пополам. Найдите объём полученнойусеченной пирамиды.

2вариант

1)Дана правильная четырехугольнаяпирамида. Сторона основания равна 3см,плоский угол при вершине α = 60º. Найдитеобъём пирамиды.

2)Стороны оснований правильнойчетырехугольной усеченной пирамидыравны 4√2см и 6√2см. Площадь диагональногосечения равна 90см2. Найдите объёмусеченной пирамиды.

3)Основанием пирамиды является прямоугольныйтреугольник, катеты которого 24дм и 18дм.Каждое боковое ребро равно 25дм. Пирамидапересечена плоскостью, параллельнойплоскости основания и делящей боковоеребро пополам. Найдите объём полученнойусеченной пирамиды.

Возможна проверка ответов:1 вариант – 1)cм3, 2)см3, 3)1260см3

2вариант – 1)см3, 2)456см3, 3)1260см3

(25-30мин)

8. Итогиурока. Домашнее задание.

-Итак, мы сегодня повторили все формулы,решали различные задачи, составлялизадачи, восстанавливали формулы, работалив группах, проверили свою готовность кпредстоящей контрольной работе.

-Оценки за урок: самая активнаягруппа, индивидуальные задания,фронтальная работа с формулами и задачамипо готовым чертежам.

Домашнеезадание: Повторить все формулы потеме «Объемы».

Решить из учебниказадачи: №691, №706, №747. Готовиться к к/р.

-Я думаю, что для вас это не покажетсятрудным, т.к. подобные задачи мы сегодняразобрали. (2 мин)

1карточка: 1) Дан цилиндр. Радиус цилиндра3см. Его высота 5см.

Найти объем цилиндра.

2) Модель конуса. Выполнитьнеобходимые измерения.

Вычислить объем конуса.

___________________________________________________________________________

2 карточка: 1) Дана правильнаячетырехугольная пирамида. Сторонаоснования 3см. Высотапирамиды 5см. Найти объем пирамиды.

2) Модель цилиндра. Выполнитьнеобходимые измерения.

Вычислить объем цилиндра.

___________________________________________________________________________

3карточка: 1) Дан конус. Радиус конуса3см. Его высота 5см.

Найти объем конуса.

2) Модель правильнойтреугольной призмы.

Выполнить необходимыеизмерения. Вычислить объем призмы.

________________________________________________________________________________________

Задание№1

Восновании пирамиды лежит треугольниксо сторонами 5см, 5см и 6см. Все боковые грани пирамиды наклоненык плоскости основания под углом 60º. Найдите объем конуса, вписанногов эту пирамиду.

___________________________________________________________________________

Задание№2

Восновании пирамиды лежит треугольниксо сторонами 13см, 12см и 5см. Все боковые ребра наклоненык плоскости основания под углом 45º. Найдите объем пирамиды.

___________________________________________________________________________

Задание№3

Вцилиндр вписана призма, основаниемкоторой служит прямоугольный треугольник. В нем катет равен 6см, а прилежащий угол60º. Диагональ большей боковой гранипризмы составляет с плоскостью еёоснования угол в 45º. Найдите объемцилиндра.

___________________________________________________________________________

Задание№1

Восновании пирамиды лежит треугольниксо сторонами 5см, 5см и 6см. Все боковые грани пирамиды наклоненык плоскости основания под углом 60º. Найдите объем конуса, вписанногов эту пирамиду.

___________________________________________________________________________

Задание№2

Восновании пирамиды лежит треугольниксо сторонами 13см, 12см и 5см. Все боковые ребра наклоненык плоскости основания под углом 45º. Найдите объем пирамиды.

___________________________________________________________________________

Задание№3

Вцилиндр вписана призма, основаниемкоторой служит прямоугольный треугольник. В нем катет равен 6см, а прилежащий угол60º. Диагональ большей боковой гранипризмы составляет с плоскостью еёоснования угол в 45º. Найдите объемцилиндра.

Источник: https://www.uchmet.ru/library/material/149792/129513/

Призма. Все что нужно знать для подготовки к ЕГЭ по математике

Что лежит в основании призмы. Прямая призма — Гипермаркет знаний



Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Привет!

Сейчас я расскажу тебе ВСЕ о призме. Без воды. Только то, что нужно.

Помни о своей цели! Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Это самый лучший материал в инете.

Не веришь?

Посмотри отзывы внизу статьи и ты все поймешь… И, кстати, можешь оставить свои.

Ладно, хватит болтать – к делу!

формула объема призмы Необычная формула объёма призмы Объем правильной треугольной призмы Объем правильной четырёхугольной призмы Объем правильной шестиугольной призмы Площадь поверхности призмы А здесь ты можешь скачать весь текст в pdf формате. ПРИЗМА. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Теперь я хочу услышать тебя!

Определение призмы

  • Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Виды призм

  • Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
  • Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
  • Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

Объем и площадь призмы

формула объема призмы:

 ,

где   — площадь основания,

  — высота.

 

Необычная формула объема призмы:

 ,

где   – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

  – длина бокового ребра.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

А теперь подробнее….

Что такое призма

Давай ответим сперва картинками:

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями. Остальные грани называются боковыми.

Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Рисуем ещё раз:

А теперь: рёбра.

Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Важно знать, что:

Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.
  • Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то – четырёхугольной и так далее.
  • Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но , к счастью, не в твоих задачах.
  • А у тебя будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

Согласен?

Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

У прямой призмы:

  • все боковые грани прямоугольники;
  • все сечения проходящие через боковые рёбра – прямоугольники;
  • и даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро – прямоугольники.
У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.

Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Тебе, скорее всего, может встретиться:

1) Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

2) Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

3) Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

формула объема призмы

  –площадь основания

  – высота

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то   «превращается» в боковое ребро. И тогда

– то же самое, что

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

  – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

  – длина бокового ребра.

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Объем правильной треугольной призмы

Пусть дано, что сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

Найдём объём:

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника

Подставляем в формулу объёма:

 .

Объем правильной четырёхугольной призмы

Опять дано: сторона основания равна  , боковое ребро равно  .

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

Значит,  .

Объем правильной шестиугольной призмы

Что же такое  ? Как найти?

Смотри: шестиугольник   состоит из шести одинаковых правильных треугольников.

Значит:  

Ну и теперь  .

Площадь поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

Есть ли общая формула?

 

Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

Формулу можно написать для прямой призмы:

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы.

 , где   – периметр основания.

 .

Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

Все боковые грани – прямоугольники. Значит  .

  – это уже выводили при подсчёте объёма.

Итак, получаем:

 .

ПРИЗМА. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. Определение

  • Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

2. Виды призм:

  • Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
  • Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
  • Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

3. Объем и площадь призмы:

  • формула объема призмы:  , где   — площадь основания,   — высота.
  • Необычная формула объема призмы:  , где   – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,   – длина бокового ребра.
  • Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.  .

Теперь я хочу услышать тебя!

Я постаралась сжато, без воды рассказать о том, что такое призма.

Что тебе понравилось? Что не понравилось?

Может быть ты нашел ошибку?

Или знаешь другой хороший материал на эту тему? 

Источник: https://youclever.org/book/prizma-1

Правильная четырехугольная призма

Что лежит в основании призмы. Прямая призма — Гипермаркет знаний

Развернуть структуру обучения

структуру обучения

Определение.

Правильная четырехугольная призма – это шестигранник, основаниями которого являются два равных квадрата, а боковые грани представляют собой равные прямоугольники

Боковое ребро – это общая сторона двух смежных боковых граней

Высота призмы – это отрезок, перпендикулярный основаниям призмы

Диагональ призмы – отрезок, соединяющий две вершины оснований, которые не принадлежат к одной грани

Диагональная плоскость – плоскость, которая проходит через диагональ призмы и ее боковые ребра

Диагональное сечение – границы пересечения призмы и диагональной плоскости. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник

Перпендикулярное сечение (ортогональное сечение) – это пересечение призмы и плоскости, проведенной перпендикулярно ее боковым ребрам

На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:

  • Основания ABCD и A1B1C1D1 равны и параллельны друг другу
  • Боковые грани AA1D1D, AA1B1B, BB1C1C и CC1D1D, каждая из которых является прямоугольником
  • Боковая поверхность – сумма площадей всех боковых граней призмы
  • Полная поверхность – сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
  • Боковые ребра AA1, BB1, CC1 и DD1.
  • Диагональ B1D
  • Диагональ основания  BD
  • Диагональное сечение BB1D1D
  • Перпендикулярное сечение A2B2C2D2 .
  • Основаниями являются два равных квадрата
  • Основания параллельны друг другу
  • Боковыми гранями являются прямоугольники
  • Боковые грани равны между собой
  • Боковые грани перпендикулярны основаниям
  • Боковые ребра параллельны между собой и равны
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям
  • Углы перпендикулярного сечения – прямые
  • Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
  • Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям

При решении задач на тему “правильная четырехугольная призма” подразумевается, что:

Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат. (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы)

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия –  призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет – пишите об этом в форумеДля обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .    В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

Решение.

Правильный четырехугольник – это квадрат.

Соответственно, сторона основания будет равна

√144 = 12 см. Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна √( 122 + 122 ) = √288 = 12√2 Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:

√( ( 12√2 )2 + 142 ) = 22 см

Ответ: 22 см

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.

Решение.

Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:

a2 + a2 = 52

2a2 = 25 a = √12,5 Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:

h2 + 12,5 = 42

h2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5 h = √3,5 Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания

S = 2a2 + 4ah

S = 25 + 4√12,5 * √3,5 S = 25 + 4√43,75 S = 25 + 4√(175/4) S = 25 + 4√(7*25/4)

S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см2 .

Ответ: 25 + 10√7 ≈ 51,46 см2 .

15306.1214  

 Прямая призма | Описание курса | Диагональное сечение правильной призмы 

Источник: https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson201/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.