Как провести сечение параллельное прямой. Задачи на построение сечений в параллелепипеде

Задачи на построение сечений

Как провести сечение параллельное прямой. Задачи на построение сечений в параллелепипеде

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Темаурока: Задачи на построение сечений.

Цельурока:

-выработатьнавыки решения задач на построениесечений тетраэдра и параллелограмма.

Ходурока

  1. Организационный момент.

  2. Проверка домашнего задания

Ответы на вопросы 14, 15.

14.Существует ли тетраэдр, у которогопять углов граней прямые?

(Ответ: нет, т.к. граней всего 4, ониявляются треугольниками, а треугольникас двумя прямыми углами не существует.)

15. существует ли параллелепипед, укоторого: а) только одна грань-прямоугольник;

б) только две смежные грани-ромбы; в) всеуглы граней острые; г) все углы гранейпрямые; д) число всех острых граней неравно числу всех тупых углов граней?

(Ответ: а)нет (противоположные граниравны); б)нет (по той же причине); в) нет(таких параллелограммов не существует);г) да (прямоугольный параллелепипед);д)нет (в каждой грани два острых и дватупых угла, либо все прямые).

  1. Изучение нового материала

План:

  1. Теоретическая часть.

  2. Практическая часть.

Для решения многих геометрическихзадач, связанных с тетраэдром ипараллелепипедом, полезно уметь строитьна рисунке их сечения различнымиплоскостями. Под сечением будем пониматьлюбую плоскость (назовем ее секущейплоскостью), по обе стороны от которойимеются точки данной фигуры (то естьтетраэдра или параллелепипеда).

Секущаяплоскость пересекает тетраэдр(параллелепипед) по отрезкам. Многоугольник,который будет образован этими отрезками,и является сечением фигуры. Так кактетраэдр имеет четыре грани, то егосечением могут быть треугольники ичетырехугольники. Параллелепипед имеетшесть граней.

Его сечением могут бытьтреугольники, четырехугольники,пятиугольники, шестиугольники.

При построении сечения параллелепипедаучитываем тот факт, что если секущаяплоскость пересекает две противоположныеграни по каким –то отрезкам, то этиотрезки параллельны (свойство 1, п.11: Если две параллельные плоскостипересечены третьей, то линии их пересеченияпараллельны).

Для построения сечения достаточнопостроить точки пересечения секущейплоскости с ребрами тетраэдра(параллелепипеда), после чего провестиотрезки, соединяющие каждые двепостроенные точки, лежащей в одной итой же грани.

Может ли в сечении тетраэдра плоскостьюполучиться четырехугольник, изображенныйна рисунке?

Ответ:Нет.

2.1.Построить сечение куба плоскостью,проходящей через точки E,F, G,лежащие на ребрах куба.

Решение. Для построения сечения куба,проходящего через точки E,F, G,лежащие на ребрах куба, выходящих изодной вершины, достаточно простосоединить данные точки отрезками.

2.2. Построить сечение куба плоскостью,проходящей через точки E,F, G, лежащие на ребрах куба.

Решение. Для построения сечения куба,проходящего через точки E,F, G,

проведем прямую EF иобозначим Pеёточку пересечения с AD.

Обозначим Qточкупересечения прямых PGи AB.

Соединим точки EиQ, Fи G.

Полученная трапеция EFGQбудет искомым сечением.

2.3. Построить сечение куба плоскостью,проходящей через точки E,F, G, лежащие на ребрах куба, для которыхAE = DF.

Решение. Для построения сечения куба,проходящего через точки E,F, G,

соединим точки EиF.

Прямая EFбудетпараллельнаADи, следовательно, BC.

Соединим точки EиB, Fи C.

Полученный прямоугольник BCFEбудет искомым сечением.

2.4. Построить сечение куба плоскостью,проходящей через точки E,F, лежащие на ребрахкубаи вершину B.

Решение. Для построения сечения куба,проходящего через точки E,Fи вершину B,

Соединим отрезками точки Eи B, Fи B.

Через точки Eи Fпроведем прямые, параллельные BFи BE, соответственно.

Полученный параллелограмм BFGEбудет искомым сечением.

2.5. Построить сечение куба плоскостью,проходящей через точки E,F, G, лежащие на ребрах куба.

Решение. Для построения сечения куба,проходящего через точки E,F, G,

проведем прямую EF иобозначим Pеёточку пересечения с AD.

Обозначим Q, Rточки пересечения прямой PGс ABи DC.

Обозначим S точкупересечения FRcСС1.

Соединим точки EиQ, Gи S.

Полученный пятиугольник EFSGQбудет искомым сечением.

2.6. Построить сечение куба плоскостью,проходящей через точки E,F, G, лежащие на ребрах куба.

Решение. Для построения сечения куба,проходящего через точки E,F, G,

найдем точку Pпересечения прямой EFи плоскости грани ABCD.

Обозначим Q, Rточки пересечения прямой PGс ABи CD.

Проведем прямую RFи обозначим S, Tеё точки пересечения с CCDD1.

Проведем прямую TEи обозначим U еёточку пересечения с A1D1.

Соединим точки EиQ, Gи S, Fи U.

Полученный шестиугольник EUFSGQбудет искомым сечением.

2.7. Построить сечение тетраэдра ABCDплоскостью, параллельной ребру ADи проходящей через точки E,F.

Решение. Соединим точки E и F.Через точку Fпроведем прямую FG,параллельную AD.

Соединим точки GиE.

Полученный треугольник EFGбудет искомым сечением.

2.8. Построить сечение тетраэдра ABCDплоскостью, параллельной ребру CDи проходящей через точки E,F .

Решение. Через точки Eи F проведем прямыеEGи FH,параллельные CD.

Соединим точки GиF, Eи H.

Полученный треугольник EFGбудет искомым сечением.

2.9. Построить сечение тетраэдра ABCDплоскостью, проходящей через точкиE, F,G.

Решение. Для построения сечения тетраэдра,проходящего через точки E,F, G,

проведем прямую EF иобозначим Pеёточку пересечения с BD.

Обозначим Qточкупересечения прямых PGи CD.

Соединим точки FиQ, Eи G.

Полученный четырехугольник EFQGбудет искомым сечением.

  1. Итог урока.

  2. Домашнее задание п.14, стр.27 №104 –вариант1, №106-вариант2.

Приложение.

Источник: https://gigabaza.ru/doc/104521.html

Задачи на построение сечений – ТЕТРАЭДР. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД – ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Как провести сечение параллельное прямой. Задачи на построение сечений в параллелепипеде

Цель урока:

– выработать навыки решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

Ответы на вопросы 14, 15.

14. Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые? (Ответ: Нет, так как граней всего 4, они являются треугольниками, а треугольника с двумя прямыми углами не существует.)

15. Существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань – прямоугольник; б) только две смежные грани – ромбы; в) все углы граней острые; г) все углы граней прямые; д) число всех острых граней не равно числу всех тупых углов граней?

(Ответ: а) нет (противоположные грани равны); б) нет (по той же причине); в) нет (таких параллелограммов не существует); г) да (прямоугольный параллелепипед); д) нет (в каждой грани два острых и два тупых угла, либо все прямые.)

III. Изучение нового материала

План:

1. Теоретическая часть.

2. Практическая часть (решение задачи № 1).

Учитель: 1) для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Под сечением будем понимать любую плоскость (назовем ее секущей плоскостью), по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры (то есть тетраэдра или параллелепипеда).

Секущая плоскость пересекает тетраэдр (параллелепипед) по отрезкам. Многоугольник, который будет образован этими отрезками, и является сечением фигуры. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечением могут быть треугольники и четырехугольники (рис. 1). Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечением могут быть треугольники (рис. 2 а), четырехугольники (рис.

2 б), пятиугольники (рис. 2 в) и шестиугольники (рис. 2 г).

При построении сечения параллелепипеда учитываем тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны (свойство 1, п. 11: Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны). Более подробно с построением сечения параллелепипеда мы познакомимся на следующем уроке.

Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра (параллелепипеда), после чего остается провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

2) Рассмотрим примеры построения различных сечений тетраэдра, для этого решим задачу: На ребрах АВ, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки М, N, Р (рис. 3 а). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Решение: Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC. Точка М является общей точкой этих плоскостей.

Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и ВС до их пересечения в точке Е (рис. 3 б), которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ME.

Прямая ME пересекает ребро АС в некоторой точке А. Четырехугольник MNPQ – искомое сечение.

Если прямые NP и ВС параллельны (рис. Зв), то прямая NP параллельна грани ABC, поэтому плоскость MNP пересекает эту грань по прямой ME, параллельной прямой NP. Точка Q, как и в предыдущем случае, есть точка пересечения ребра АС с прямой ME.

3) Работа у доски:

– Первый ученик: построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через данные точки MNK.

– Второй ученик: построить сечение тетраэдра МКРН плоскостью, проходящей через точки ABC. Найти периметр Сечения. Ребро тетраэдра равно а.

– Третий ученик (№ 105): Изобразите тетраэдр DABC и отметьте точки M и N на ребрах BD и CD и внутреннюю точку К грани ABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

Решение: Обозначим секущую плоскость буквой α. Тогда

Возможны два случая:

1°) MN ∩ ВС = Р; 2°) MN || BС. Рассмотрим их отдельно. 1°) Проводим прямую MN. Проводим прямую РК. Пусть она пересекает стороны АС и АВ в точках Е и F. Проводим отрезки NE и MF. Искомое сечение – четырехугольник MNEF (рис. 4).

2) Через точку К проводим EF || ВС. Проводим отрезки NE и MF. Искомое сечение – четырехугольник MNEF (рис. 5).

3) Работа по карточкам: (пока третий ученик работает у доски, 4 ученика работают по карточкам).

– построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через данные точки М, N, К. Найти периметр сечения. Ребро тетраэдра равно а (рис. 6).

– построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через данные точки М, N, К; NM || АС (рис. 7).

– построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через данные точки М, N, К. EKNM – искомое сечение (рис. 8).

– построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через данные точки М, N, К (рис. 9). KNME – искомое сечение.

Домашнее задание

П. 14, стр. 27 № 104 – Вариант I, № 106 – Вариант II.

Задача 104

Решение: Проведем ME || АС и MF || BD. По теореме 2. (Через две пересекающие прямые проходит плоскость, и притом только одна) плоскость сечения пересечет плоскость BCD по прямой, параллельной MF (MF || плоскости BCD по построению), значит, проводим ЕК || BD. Соединим точки К и F. Четырехугольник MEKF – искомое сечение. Докажем это.

АС || плоскости MEF (так как АС || ME; ME ⊂ MEF). BD || плоскости MEF (то есть BD || MF; MF ⊂ MEF). Итак, плоскость MEKF || AC и плоскость MEKF || BD.

Так как через точку М можно провести лишь одну прямую ME || АС в плоскости грани ABC и одну прямую MF || BD в плоскости грани BAD, то плоскость MEKF – единственная, удовлетворяющая условию задачи (рис. 10).

Задача 106

Решение: Пусть точки расположены так, как показано на рисунке 11. 1. Проводим KN до пересечения с продолжением ребра СА. Пусть KN пересечет СА в точке О. 2. Проводим луч ОМ; он пересечет ребро АВ в точке Е, а ребро ВС – в точке L. Соединим К и L, F и Е (точка F – точка пересечения KN с ребром DA). Сечение KFEL – искомое.

Построим:

1) KN до пересечения в точке F с ребром АС.

2) FM до пересечения с ребром АВ в точке Е и ребром ВС (его продолжением) в точке О.

3) ОК, он пересечет DB в точке L.

4) отрезок EL.

5) KFEL – искомое сечение (рис. 12).

Проводим KN до пересечения с АС в точке F; продолжаем KN за точкой F до пересечения с продолжением DA в точке О; FM до пересечения с АВ в точке Е; ОЕ до пересечения с DB в точке L; отрезок KL. KFEL – искомое сечение (рис. 13).

VII. Подведение итогов

Оценки.

Источник: https://compendium.su/mathematics/geometry10/21.html

Пошаговое построение сечения параллелепипеда

Как провести сечение параллельное прямой. Задачи на построение сечений в параллелепипеде
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Построение сечения методом следов – это поэтапное отыскание точек, принадлежащих одной и той же плоскости грани и одновременно плоскости сечения, то есть прямым, проходящим через точки, принадлежащие сечению. Метод подходит для использования тогда, когда следы секущей плоскости и прямые граней многогранника пересекаются в области чертежа, то есть если сечение параллельно или почти параллельно основанию, этот метод построения не подойдет.

Задача 1. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки  .

Задача 1. Дано

Шаг 1. Чезез точки и , которые принадлежат одной грани, и, следовательно, одной плоскости, проводим прямую. Точки этой прямой все принадлежат секущей плоскости. Точка лежит в плоскости основания, поэтому неплохо бы найти найти точку прямой , которая также принадлежала бы основанию. Для этого проводим прямую , и находим точку ее пересечения с прямой – .

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Проводим прямую , принадлежащую плоскости основания. Находим точку пересечения этой прямой ребра – .

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Точка лежит в задней грани, поэтому надо бы найти точку прямой , которая принадлежала бы плоскости задней грани. Для этого проведем прямую , которая принадлежит как плоскости основания, так и плоскости задней грани, и найдем точку ее пересечения с прямой – . Через две точки задней грани проводим прямую , и находим место пересечения этой прямой с ребром – .

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Окончание построения. Соединяем полученные точки отрезками, и строим многоугольник сечения.

Задача 1. Шаг 4.

Задача 2. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки 

Задача 2. Дано.

Шаг 1. Точки и лежат в одной плоскости, можно соединить их прямой. Прямая пересечет ребро в точке .

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Точки и также лежат в одной плоскости. Соединяем их прямой и отыскиваем точку пересечения ею ребра – .

Задача 2. Шаг 2

Шаг 3. Найдем точку секущей плоскости, принадлежащую передней грани, чтобы затем через эту точку и точку можно было бы тоже провести след секущей плоскости. Для того, чтобы найти такую точку, проведем луч и найдем его пересечение с прямой – ведь обе эти прямые принадлежат плоскости верхней грани. Точка пересечения – точка . Точки и можно соединить отрезком.

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Находим точку пересечения отрезком ребра – точку .

Задача 2. Шаг 4

Шаг 5. После этого соединяем отрезками полученные точки и закрашиваем многоугольник сечения.

Задача 2. Шаг 5

Задача 3. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки 

Задача 3. Дано.

Шаг 1. Построим прямую , это можно сделать, так как обе точки принадлежат одной грани. Точка принадлежит грани основания, поэтому нужна точка в этой плоскости.

Задача 3. Шаг 1

Шаг 2. Для того, чтобы найти точку, одновременно принадлежащую и секущей плоскости, и плоскости нижней грани, продолжим прямую и найдем точку ее пересечения с прямой – .

Задача 3. Шаг 2.

Шаг 3. Проводим прямую и находим точку пересечения этой прямой с ребром – точка .

Задача 3. Шаг 3.

Шаг 4. Теперь надо найти точку в плоскости передней  грани, потому что в этой плоскости у нас уже есть точка – точка . Для того, чтобы найти такую точку, продлим прямую  и найдем пересечение этой прямой с прямой – точка .

Задача 3. Шаг 4

Шаг 5. Проводим прямую , отыскиваем точки пересечения ею ребер – точку , и ребра – точку .

Задача 3. Шаг 5.

Шаг 6. Соединяем точки и получаем многоугольник сечения.

Задача 3. Шаг 6

Окончательный вид сечения с другого ракурса:

Окончательный вид

Задача 4. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки  . Точка в задней грани.

Задача 4. Дано

Шаг 1.  Проводим прямую через две точки одной плоскости – и .  Определяем точку пересечения данной прямой ребра – .

Задача 4. Шаг 1.

Шаг 2. Продолжение прямой пересечется с продолжением прямой – так как обе прямые принадлежат плоскости задней грани. Точка также принадлежит задней грани, но также и боковой. А в боковой грани у нас есть точка , и тогда можно провести прямую .

Задача 4. Шаг 2.

Шаг 3. Точка – точка пересечения прямой ребра . Продлим также ребро и найдем пересечение прямой и прямой – точку , которая принадлежит плоскости основания.

Задача 4. Шаг 3

Шаг 4. Соединяем Точки и плоскости основания, определяем точку пересечения данной прямой с ребром – точку . Соединяем полученные точки отрезками. Штрихуем полученный многоугольник сечения.

Задача 4. Шаг 4.

Окончательный вид сечения с другого ракурса:

Окончание построения

Источник: https://easy-physic.ru/poshagovoe-postroenie-secheniya-parallelepipeda/

Урок 7. тетраэдр и параллелепипед – Геометрия – 10 класс – Российская электронная школа

Как провести сечение параллельное прямой. Задачи на построение сечений в параллелепипеде

Урок Конспект Дополнительные материалы

Геометрия, 10 класс

Урок №7. Тетраэдр и параллелепипед

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. понятие тетраэдра;
  2. понятие параллелепипеда;
  3. свойства ребер, граней, диагоналей параллелепипеда;
  4. определение сечения в фигуре;
  5. метод следа.

Глоссарий по теме

Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.

Сечением поверхности геометрических тел называется – плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Основная литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Учебник   Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.

Открытый электронный ресурс:

Решу ЕГЭ. Открытый образовательный портал. https://ege.sdamgia.ru

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В дельнейшем несколько уроков нашего курса будет посвящены многогранникам- поверхностям геометрических тел, составленным из многоугольников. Но до более подробного изучения многогранников мы познакомимся с двумя из них- тетраэдром и параллелепипедом. Нам данные тела дадут возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей.

Давайте вспомним, что мы понимали под многоугольником в планиметрии. Многоугольник мы рассматривали либо как замкнутую линию без самопересечений, либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму.

Мы будем использовать второе толкование многоугольника при рассмотрении поверхностей и тел в пространстве. При таком толковании любой многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность.

Давайте рассмотрим изображенную фигуру и ответим на несколько вопросов.

Итак, поверхность данной фигуры состоит из четырёх треугольников DАВ, DВС, DАС и АВС.

Тетраэдр состоит:

  1. из вершин- их у него 4- А, B, C, D;
  2. из ребер- их у него 6- AB, BC, AC, AD, BD, CD;
  3. из граней- их у него 4- треугольники ∆АВС, ∆DАС, ∆DВС, ∆DАВ.

Мы с вами выяснили из элементов состоит наша фигура тетраэдр. Теперь сформулируем определение.

Определение. Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.

Говорят, что рёбра АD и ВС, АВ и CD, и т.д.- противоположные.

Считается АВС – основание, остальные грани – боковые.

Изображается тетраэдр обычно так (рис. 1).

Рисунок 1 – изображение тетраэдра.

Математика, в частности геометрия, является мощнейшим инструментом в познании мира. Различные геометрические формы находят свое практическое приспособление в различных областях знания: архитектуре, скульптуре, живописи. И тетраэдр тому доказательство. Так же мы можем наблюдать тетраэдр в повседневной жизни (рис. 2).

Форма пакета молокаАрхитектурные решенияСолнечные панели

Рисунок 2 – тетраэдр в повседневной жизни

Параллелепипед.

Прежде чем начать изучать параллелепипед вспомним определение параллелограмма и его свойства.

Определение. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом (рис. 3).

Рисунок 3 – параллелограмм

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма равны:AB=DC,  BC=AD
2. Противоположные углы параллелограмма равны:∟A=∟C, ∟B=∟D
3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:BO=OD, AO=OC
  1. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

треугольники ABC и CDA равны.

  1. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180⁰: ∟A+∟D=180°
6. Накрест лежащие углы при диагонали равны:∟BAC=∟ACD, ∟BCA=∟CAD

А теперь перейдем к параллелепипеду.

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки AA1, BB1, CC1 и DD1 параллельны.

АВСDА1В1С1D1 — параллелепипед.

Давайте рассмотрим изображенную фигуру (рис. 4).

Рисунок 4 – параллелепипед и его диагонали

АВСDA1B1C1D1: поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и A1B1C1D1, лежащих в параллельных плоскостях и четырёх параллелограммов.

Все параллелограммы – грани, их стороны – рёбра, их вершины – вершины параллелепипеда.

Считается: АВСD и A1B1C1D1 – основания, остальные грани – боковые.

Определение. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда:
A1C, D1B, AC1, DB1.

Параллелепипед – слово греческого происхождения, параллел – идущий рядом, епипед – плоскость.

Определение.Параллелепипед- этошестигранник с параллельными и равными противоположными гранями.

Следует отметить, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед – поверхности, составленные из плоских поверхностей (соответственно треугольников и параллелограммов).

Способы изображения параллелепипеда

Параллелепипед, в основании которого лежит ромб
Параллелепипед, в основании которого лежит квадрат
Параллелепипед,в основании которого лежит прямоугольник или параллелограмм
Параллелепипед, у которого все грани — равные квадраты

Можно сделать вывод, что параллелепипеды делятся на (рис. 5)

Рисунок 5 – виды параллелепипедов

Свойства параллелепипеда

  1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
  2. Все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Доказательство 1

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1грани ВВ1С1С и AA1D1D параллельны (рис. 6), потому что две пересекающиеся прямые ВВ1 и В1С1 одной грани параллельны двум пересекающимся прямым АА1 и A1D1 другой; эти грани и равны, так как В1С1 = A1D1, В1В= А1А (как противоположные стороны параллелограммов) и ∟ ВВ1С1= ∟АA1D1.

Рисунок 6 – чертеж к доказательству свойства 1

Доказательство 2

Возьмём какие-нибудь две диагонали, например АС1 и ВD1, и проведём вспомогательные прямые АD1 и ВС1 (рис. 7).

Так как рёбра АВ и D1С1 соответственно равны и параллельны ребру DС, то они равны и параллельны между собой; вследствие этого фигура АD1С1В есть параллелограмм, в котором прямые С1А и ВD1 —диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам.

Возьмём теперь одну из этих диагоналей, например АС1, с третьей диагональю, положим, с В1D. Совершенно так же мы можем доказать, что они делятся в точке пересечения пополам.

Следовательно, диагонали B1D и АС1 и диагонали АС1 и BD1(которые мы раньше брали) пересекаются в одной и той же точке, именно в середине диагонали 
АС1. Наконец, взяв эту же диагональ АС1 с четвёртой диагональю А1С, мы также докажем, что они делятся пополам.

Значит, точка пересечения и этой пары диагоналей лежит в середине диагонали АС1. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной и той же точке и делятся этой точкой пополам.

Рисунок 7 – чертеж к доказательству свойства 2

Задачи на построение сечений.

Определение. Сечением поверхности геометрических тел называется – плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Взаимное расположение многогранника и секущей плоскости:

  1. Многогранник и плоскость не имеют общих точек.
  2. Многогранник и плоскость имеют одну общую точку-вершину многогранника.
  3. Многогранник и плоскость имеют общую грань.
  4. Многогранник и плоскость имеют общий отрезок-ребро многогранника.

Виды сечений:

  • сечение параллельное плоскости основания,
  • диагональное сечение,
  • сечение, параллельное плоскости грани,
  • произвольное сечение.

Фигуры, которые получаются в результате сечения:

    1. треугольник;
    2. четырехугольник;
    3. пятиугольник;
    4. шестиугольник.

Один из методов построения сечений, который мы рассмотрим- метод следа.

Рассмотрим метод следов, применяемый при построении сечений многогранников, а именно при построении сечения куба плоскостью.

Что такое метод следов? При построении сечений многогранников в качестве вспомогательной прямой часто используется след секущей плоскости (в плоскости грани, удобной для рассмотрения). Такой метод построения сечений называется методом следа.

Задача №1.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (рис. 8).

Решение.

Рисунок 8 –чертеж к задаче №1

  1. Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания параллелепипеда. Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
  2. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S1, принадлежащую следу.
  3. Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.
  4. Прямая S1S2 – след секущей плоскости на плоскость нижнего основания параллелепипеда.
  5. Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT.
  6. PQRTU – искомое сечение.

  Основные правила построения сечений методом следа:

  • Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.
  • Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью ( точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)
  • Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.

То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. 

Задача №2.

Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС. Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Рисунок 9 – чертеж к задаче №2

Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость DМN (рис. 10). Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К. Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р. 

Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС (рис. 11). В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.

Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р1 и Р2. Соединяем Р1 и М и на продолжении получаем точку М1. Соединяем точку Р2 и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена.

Рисунок 10 – чертеж к примеру 1 (первый случай)

Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС (рис. 12). Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р1Р2, тогда прямая Р1Р2 параллельна данной прямой MN.

Теперь проведем прямую Р1М и получим точку М1. Р1Р2NМ1 – искомое сечение.

Рисунок 11 – чертеж к примеру 1 (второй случай)

Пример 2.

Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.

Доказательство

Плоскость SBC и плоскость, проходящая через прямую MN параллельно ребру SB, пересекаются по прямой, проходящей через точку N (рис. 13).По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.В плоскость SBC через т. N проходит NQ||SB.

Плоскость SAB и плоскость MNQ пересекаются по прямой, проходящей через т. M (прямая MP). По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.

следовательно, PM||NQ.Утверждение доказано. 

Рисунок 12 – чертеж к примеру 2

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/5444/conspect/

Построение сечений многогранников. 10 класс

Как провести сечение параллельное прямой. Задачи на построение сечений в параллелепипеде
Построение сечений многогранников. 10 класс.

Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Примеры построения сечений:

Пример 1.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD1C1C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD1, они лежат в одной плоскости AA1D1D, получим точку X2;

пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D1C1, они лежат в одной плоскости A1B1C1D1, получим точку X3;

Точки X2 и X3 лежат в плоскости DD1C1C. Проведем прямую X2 X3 , которая пересечет ребро C1C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

MKNTPL – искомое сечение.

Пример 2.

Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.

.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

.

Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

.

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

.

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).

.

Соединим точки P и L ( они лежат в одной плоскости).

.

MKNTPL – искомое сечение.

Методы построения сечений

Метод следов

В общем случае плоскость сечения имеет общую прямую с плоскостью каждой грани многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает какую-либо грань, называют следом секущей плоскости.

Метод внутреннего проектирования

Этот метод удобен при построении сечений в тех случаях, когда почему-либо неудобно находить след секущей плоскости, например, след получается очень далеко от заданной фигуры.

Комбинированный метод

При построении этим методом на каких-то этапах применяются приёмы, изложенные в методе следов или методе внутреннего проектирования, а на других этапах применяются теоремы, изученные в разделе «Параллельность прямых и плоскостей».

Метод следов

Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры F.

 Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости.

Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры F. 

Пусть М, N, К – точки секущей плоскости, М1, N1, К1 – их проекции на плоскость основания. При этом для призм и цилиндров ММ1 || NN1, NN1 || КК1, для конусов и пирамид ММ1∩ NN1∩ КК1= S (S- вершина). Удобнее обозначать вершины нижнего основания через А1, В1, С1,… верхнего основания – А, В, С,…. Кратко суть метода следов можно записать следующим образом.

1. МN∩ М1N1=X

2. МК∩ М1К1=У

3. ХУ= S – след секущей плоскости

4. A1M1 ∩ S = A0   возможно  

5. АоМ ∩ А1А == А

6. Пункты 4-5 повторить для вершин В1, С1,… нижнего основания фигуры F;

7.  – искомое сечение.

Строить сечение фигуры секущей плоскостью α методом следов удобно в тех случаях, когда секущая плоскость задана тремя точками, ей принадлежащими, или прямой и не принадлежащей ей точкой, или двумя пересекающимися прямыми, или двумя параллельными прямыми. Во всех случаях легко взять три точки М, N, К, принадлежащие плоскости α, и решение проводить по указанной схеме.

Задача 1. Постройте сечение призмы A1B1C1D1ABCD плоскостью, проходящей через три точки M, N, K. Рассмотрите все случаи расположения точек M, N, K на поверхности призмы (рис. 13).

Рассмотрим случай: В данном случае очевидно, что M1 = B1.

Построение.

  1. 2. 3. XY = s – след секущей плоскости.

    4. 

    5. 
    6. 
    7. 
    8.  – искомое сечение.

Задача 2. Постройте сечение пирамиды SABCDE плоскостью, проходящей через точку  и прямую l, лежащую в грани SED (рис. 14).

Построение.

1. 2. 3.  – след секущей плоскости.4. 5. 

6.  – искомое сечение.

Задача 3.

Точки P, Q и R взяты на поверхности параллепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка P лежит в грани CC1D1D, точка Q – в грани AA1D1D, точка R на прямой BB1. Построить сечение параллелепипеда плоскостью (PQR).

Метод внутреннего проектирования.

Задача 4.

Точки PQ и R взяты на поверхности параллепипеда ABCDA1B1C1D1следующим образом: точка P лежит на грани CC1D1D, точка Q – на ребре B1C1, а точка R – на ребре AA1. Построить сечение параллелепипеда плоскостью (PQR).

Комбинированный метод.

Задача 5.

На рёбрах A1B1и DD1параллелепипеда ABCDA1B1C1D1взяты соответственно точки Pи S, а в гранях DD1C1Cи AA1D1Dсоответственно точки Qи R. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку Sпараллельно плоскости PQR.

Источник: https://multiurok.ru/files/postroieniie-siechienii-mnoghoghrannikov-10-klass.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.