Как решать уравнения с натуральным логарифмом. Решение логарифмичеких уравнений. Полное руководство (2019)

Исследование функции и построение графика

Как решать уравнения с натуральным логарифмом. Решение логарифмичеких уравнений. Полное руководство (2019)

На этой странице мы постарались собрать для вас наиболее полную информацию об исследовании функции. Больше не надо гуглить! Просто читайте, изучайте, скачивайте, переходите по отобранным ссылкам.

Что будет дальше?

Исследование функции и построение графика

Для чего нужно это исследование, спросите вы, если есть множество сервисов, которые построят график онлайн для самых замудренных функций? Для того, чтобы узнать свойства и особенности данной функции: как ведет себя на бесконечности, насколько быстро меняет знак, как плавно или резко возрастает или убывает, куда направлены “горбы” выпуклости, где не определены значения и т.п.

А уже на основании этих “особенностей” и строится макет графика – картинка, которая на самом-то деле вторична (хотя в учебных целях важна и подтверждает правильность вашего решения).

Начнем, конечно же, с плана. Исследование функции – объемная задача (пожалуй, самая объемная из традиционного курса высшей математики, обычно от 2 до 4 страниц с учетом чертежа), поэтому, чтобы не забыть, что в каком порядке делать, следуем пунктам, описанным ниже.

Алгоритм

  1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
  2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
  3. Найти точки пересечения с осями координат.
  4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.

  5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
  6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
  7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
  8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.

  9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
  10. Построить график и асимптоты.

В разных источниках (учебниках, методичках, лекциях вашего преподавателя) список может иметь отличный от данного вид: некоторые пункты меняются местами, объединяются с другими, сокращаются или убираются.

Учитывайте требования/предпочтения вашего учителя при оформлении решения.

Схема исследования в формате pdf: скачать.

Полный пример решения онлайн

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Провести полное исследование и построить график функции $$ y(x)=\frac{x2+8}{1-x}. $$

1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя. $$1-x=0, \quad \Rightarrow \quad x=1.$$ Исключаем единственную точку $x=1$ из области определения функции и получаем: $$ D(y)=(-\infty; 1) \cup (1;+\infty). $$

2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:

Так как пределы равны бесконечности, точка $x=1$ является разрывом второго рода, прямая $x=1$ – вертикальная асимптота.

3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдем точки пересечения с осью ординат $Oy$, для чего приравниваем $x=0$:

Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0;8)$.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс $Ox$, для чего положим $y=0$:

Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью $Ox$ нет.

Заметим, что $x2+8>0$ для любых $x$. Поэтому при $x \in (-\infty; 1)$ функция $y>0$ (принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при $x \in (1; +\infty)$ функция $y\lt 0$ (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:

5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.

6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:

Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых $y'=0$):

Получили три критические точки: $x=-2, x=1, x=4$. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:

При $x \in (-\infty; -2), (4;+\infty)$ производная $y' \lt 0$, поэтому функция убывает на данных промежутках.

При $x \in (-2; 1), (1;4)$ производная $y' >0$, функция возрастает на данных промежутках.

При этом $x=-2$ – точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), $x=4$ – точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).

Найдем значения функции в этих точках:

Таким образом, точка минимума $(-2;4)$, точка максимума $(4;-8)$.

7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:

Приравняем вторую производную к нулю:

Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда $x \in (-\infty; 1)$ выполняется $y'' \gt 0$, то есть функция вогнутая, когда $x \in (1;+\infty)$ выполняется $y'' \lt 0$, то есть функция выпуклая.

8) Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .

Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.

Попробуем определить наклонные асимптоты вида $y=kx+b$. Вычисляем значения $k, b$ по известным формулам:

Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота $y=-x-1$.

9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.

$$ y(-5)=5.5; \quad y(2)=-12; \quad y(7)=-9.5. $$

10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами $x=1$ (синий), $y=-x-1$ (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):

Примеры решений по исследованию функции

Разные функции (многочлены, логарифмы, дроби) имеют свои особенности при исследовании (разрывы, асимптоты, количество экстремумов, ограниченная область определения), поэтому здесь мы пострались собрать примеры из контрольных на исследование функций наиболее часто встречающихся типов. Удачи в изучении!

Задача 1. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

$$y=\frac{ex}{x}.$$ Исследование функции с экспонентой

Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.

$$y=-\frac{1}{4}(x3-3×2+4).$$

Задача 3. Исследовать функцию с помощью производной и построить график.

$$y=\ln \frac{x+1}{x+2}.$$ Исследование функции с логарифмом

Задача 4. Провести полное исследование функции и построить график.

$$y=\frac{x}{\sqrt{x2+x}}.$$ Исследование функции с корнями

Задача 5. Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график.

$$y=\frac{x3-1}{4×2}.$$ Дробно-рациональная функция, решение

Задача 6. Исследовать функцию на экстремумы, монотонность, выпуклость и построить график.

$$y=\frac{x3}{x2-1}.$$ Дробно-рациональная функция, исследование Поможем с исследованием функции: быстро, подробно

Задача 7. Проведите исследование функции с построением графика.

$$y=\frac{x3}{2(x+5)2}.$$

Задача 8. Построить график функции $y=y(x)$, заданной параметрически

$$x=\frac{t2}{t+1}, y=\frac{1}{t}-\frac{t3}{3}.$$ Параметрическая функция, исследование

Задача 9. Исследовать функцию и построить ее график $r=1+tg \phi$.

Исследование функции в полярных координатах

Задача 10. Исследовать функцию и построить ее график $(x2+y2)3=4x2y2$.

Исследование неявно заданной функции

Задача 11. Провести полное исследование периодической функции $y = \cos 3x – 2 \sin 6x$ и построить её график.

Исследование периодической функции

Задача 12. Провести полное исследование и построить график функции $y=f(x)$ с помощью Excel. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; -1]$.

$$y=\frac{4-x3}{x2}.$$ Исследование функции с помощью Excel

Задача 13. Провести полное исследование и построить график функции.

$$f(x)=\frac{x}{2}-\arccos\frac{2x}{1+x2}.$$ Исследование сложной функции

Еще примеры исследования функции (контрольные работы)

Как построить график онлайн?

Даже если преподаватель требует вас сдавать задание, написанное от руки, с чертежом на листке в клеточку, вам будет крайне полезно во время решения построить график в специальной программе (или сервисе), чтобы проверить ход решения, сравнить его вид с тем, что получается вручную, возможно, найти ошибки в своих расчетах (когда графики явно ведут себя непохоже).

Ниже вы найдете несколько ссылок на сайты, которые позволяют построить удобно, быстро, красиво и, конечно, бесплатно графики практически любых функций. На самом деле таких сервисов гораздо больше, но стоит ли искать, если выбраны лучшие?

Графический калькулятор Desmos

Desmos.com
Невероятно гибкий и функциональный графический калькулятор. Интутивно понятно вводятся формулы (прямо на ходу преобразуются), автоматически подбираются масштаб и цвета графика для максимальной наглядности. Например, для функции $y(x)=\frac{x3}{4(x-2)2}$ буквально за минуту построены основной график и асимптоты, вот что получилось:

При этом сайт сам пометил важные точки на графике (см. серым): локальный экстремум, пересечение с осями.

Вы можете менять масштаб, цвета, вид линий; добавлять на график точки, линии, кривые, табличные данные и даже анимацию!

Посмотрите, какую красоту Desmos умеет рисовать (точнее, его пользователи):

Сайт для построения графиков y(x).ru

y(x).ru
Это уже наш продукт, возможно, не такой красивый и интерактивный, но вполне подходящий для учебных целей. Можно строить онлайн несколько графиков одновременно, при этом выбирать и обычный, и параметрический вид, и даже задание в полярных координатах. Цвет и масштаб можно менять вручную. Вот так вводятся графики:

И такой график получается в итоге:

Из минусов можно заметить, что вводить, например, горизонтальные асимптоты не так просто: если в Desmos мы просто написали $x=2$, то здесь пришлось вводить параметрическую функцию $x(t)=2, y(t)=t$. Цвета и масштаб тоже пришлось подбирать вручную (иначе все графики оказались бы красными и мелкими).

Другие сайты

Еще несколько сервисов, которые обладают меньшим удобством/функциональностью, но тоже достойны внимания:

  • ru.numberempire.com Можно построить сразу несколько функций, цвета подбираются автоматически, график интерактивный (положение и масштаб меняются мышкой).
  • mathsolution.ru Можно строить несколько графиков, выбирая толщину линий и цвет, скрывать/отображать сетку, менять масштаб, сохранять картинки в файл.
  • easyto.me При построении нескольких графиков на одном поле предыдущие не редактируются. В остальном функции как у прежних: выбор цвета, толщины линии, масштаба чертежа.
  • grafikus.ru Кроме обычных графиков можно также строить трехмерные (3d). Можно построить несколько графиков разного типа (обычный,параметрический, в полярных координатах). Цвет и толщину линии выбрать нельзя. Интерактивности нет

Больше знаний: теория и практика

Еще немного ссылок для тех, кто хочет углубиться в тему.

Первая ссылка на теоретический материал, где вы найдете и подробные примеры, и отсылки к предыдущим разделам теории (а исследовать функцию не зная пределов, производных, понятия непрерывности и т.п.

нельзя) с не менее подробным объяснением. Все это сдобрено порцией юмора, отчего очень “съедобно” даже для полного чайника в математике: Исследование функций от Александра Емелина.

Вторая ссылка практическая, для тех, кто хочет научиться строить красивые графики в Desmos.com (см. выше описание): Полная инструкция по работе с Desmos. Эта инструкция довольно старая, с тех пор интерфейс сайта поменялся в лучшую сторону, но основы остались неизменными и помогут быстро разобраться с важными функциями сервиса.

Официальные инструкции, примеры и видео-инструкции на английском можно найти тут: Learn Desmos.

Решебник

Срочно нужна готовая задача? Более сотни разных функций с полным исследованием уже ждут вас. Подробное решение, быстрая оплата по SMS и низкая цена – около 50 рублей. Может, и ваша задача уже готова? Проверьте!

Полезные видео-ролики

Вебинар по работе с Desmos.com. Это уже полноценный обзор функций сайта, на целых 36 минут. К сожалению, он на английском языке, но базовых знаний языка и внимательности достаточно, чтобы понять большую часть.

Классный старый научно-популярный фильм “Математика. Функции и графики”. Объяснения на пальцах в прямом смысле слова самых основ.

Закажите полное исследование функции в МатБюро
Добавьте в закладки
Другие примеры по математическому анализу

Источник: https://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=maissl

Математические функции – Visual Basic

Как решать уравнения с натуральным логарифмом. Решение логарифмичеких уравнений. Полное руководство (2019)

  • 07/20/2015
  • Время чтения: 5 мин

Методы класса System.Math предоставляют тригонометрические, Логарифмические и другие общие математические функции.The methods of the System.Math class provide trigonometric, logarithmic, and other common mathematical functions.

В следующей таблице перечислены методы класса System.Math.The following table lists methods of the System.Math class. Их можно использовать в программе Visual Basic.You can use these in a Visual Basic program.

Метод .NET.NET methodОписаниеDescription
AbsВозвращает абсолютное значение числа.Returns the absolute value of a number.
AcosВозвращает угол, косинус которого равен указанному числу.Returns the angle whose cosine is the specified number.
AsinВозвращает угол, синус которого равен указанному числу.Returns the angle whose sine is the specified number.
AtanВозвращает угол, тангенс которого равен указанному числу.Returns the angle whose tangent is the specified number.
Atan2Возвращает угол, тангенс которого равен отношению двух указанных чисел.Returns the angle whose tangent is the quotient of two specified numbers.
BigMulВозвращает полное произведение 2 32-разрядных чисел.Returns the full product of two 32-bit numbers.
CeilingВозвращает наименьшее целочисленное значение, которое больше или равно указанному Decimal или Double.Returns the smallest integral value that's greater than or equal to the specified Decimal or Double.
CosВозвращает косинус указанного угла.Returns the cosine of the specified angle.
CoshВозвращает гиперболический косинус указанного угла.Returns the hyperbolic cosine of the specified angle.
DivRemВозвращает частное от 2 32-битных или 64-битовых целых чисел со знаком, а также возвращает остаток в выходном параметре.Returns the quotient of two 32-bit or 64-bit signed integers, and also returns the remainder in an output parameter.
ExpВозвращает значение e (основание натуральных логарифмов), возведенное в указанную степень.Returns e (the base of natural logarithms) raised to the specified power.
FloorВозвращает максимальное целое число, которое меньше или равно указанному Decimal или Doubleному числу.Returns the largest integer that's less than or equal to the specified Decimal or Double number.
IEEERemainderВозвращает остаток, полученный от деления указанного числа на другое заданное число.Returns the remainder that results from the division of a specified number by another specified number.
LogВозвращает натуральный (базовый e) логарифм указанного числа или логарифм указанного числа в заданном базовом массиве.Returns the natural (base e) logarithm of a specified number or the logarithm of a specified number in a specified base.
Log10Возвращает логарифм с основанием 10 указанного числа.Returns the base 10 logarithm of a specified number.
MaxВозвращает большее из двух чисел.Returns the larger of two numbers.
MinВозвращает меньшее из двух чисел.Returns the smaller of two numbers.
PowВозвращает указанное число, возведенное в указанную степень.Returns a specified number raised to the specified power.
RoundВозвращает Decimal или Double значение, округленное до ближайшего целого значения или до указанного числа цифр дробной части.Returns a Decimal or Double value rounded to the nearest integral value or to a specified number of fractional digits.
SignВозвращает значение типа Integer, указывающее знак числа.Returns an Integer value indicating the sign of a number.
SinВозвращает синус указанного угла.Returns the sine of the specified angle.
SinhВозвращает гиперболический синус указанного угла.Returns the hyperbolic sine of the specified angle.
SqrtВозвращает квадратный корень из указанного числа.Returns the square root of a specified number.
TanВозвращает тангенс указанного угла.Returns the tangent of the specified angle.
TanhВозвращает гиперболический тангенс указанного угла.Returns the hyperbolic tangent of the specified angle.
TruncateВычисляет целую часть указанного Decimal или Double числа.Calculates the integral part of a specified Decimal or Double number.

Чтобы использовать эти функции без уточнения, импортируйте System.Mathое пространство имен в проект, добавив следующий код в начало исходного файла:To use these functions without qualification, import the System.Math namespace into your project by adding the following code to the top of your source file:

Imports System.Math

ПримерExample

В этом примере используется метод Abs класса Math для расчета абсолютного значения числа.This example uses the Abs method of the Math class to compute the absolute value of a number.

' Returns 50.3. Dim MyNumber1 As Double = Math.Abs(50.3) ' Returns 50.3. Dim MyNumber2 As Double = Math.Abs(-50.3)

ТребованияRequirements

Класс: MathClass: Math

Пространство имен: SystemNamespace: System

Сборка: mscorlib (в mscorlib. dll)Assembly: mscorlib (in mscorlib.dll)

См. такжеSee also

Источник: https://docs.microsoft.com/ru-ru/dotnet/visual-basic/language-reference/functions/math-functions

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.