Как считать числа с разными степенями. Умножение и деление чисел со степенями

Умножение одночленов и многочленов

Как считать числа с разными степенями. Умножение и деление чисел со степенями

Если числа обозначены различными буквами, то можно лишь обозначить из произведение; пусть, напр., надо число a умножить на число b, – мы можем это обозначить или a ∙ b или ab, но не может быть и речи о том, чтобы как-нибудь выполнить это умножение.

Однако, когда имеем дело с одночленами, то, благодаря 1) присутствию коэффициентов и 2) тому обстоятельству, что в состав этих одночленов могут входить множители, обозначенные одинаковыми буквами, является возможность говорить о выполнении умножения одночленов; еще шире такая возможность при многочленах.

Разберем ряд случаев, где возможно выполнять умножение, начиная с простейшего.

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями. Пусть, напр., требуется a3 ∙ a5. Напишем, зная смысл возведения в степень, то же самое подробнее:

a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

Рассматривая эту подробную запись, мы видим, что у нас написано a множителем 8 раз, или, короче, a8. Итак, a3 ∙ a5 = a8.

Пусть требуется b42 ∙ b28. Пришлось бы написать сначала множитель b 42 раза, а затем опять множитель b 28 раз – в общем, получили бы, что b берется множителем 70 раз. т. е. b70. Итак, b42 ∙ b28 = b70.

Отсюда уже ясно, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без перемены, а показатели степеней складываются.

Если имеем a8 ∙ a, то придется иметь в виду, что у множителя a подразумевается показатель степени 1 («a в первой степени»), – следовательно, a8 ∙ a = a9.

Примеры: x ∙ x3 ∙ x5 = x9; a11 ∙ a22 ∙ a33 = a66; 35 ∙ 36 ∙ 3 = 312; (a + b)3 ∙ (a + b)4 = (a + b)7; (3x – 1)4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1)5 и т. д.

Иногда приходится иметь дело со степенями, показатели которых обозначены буквами, напр., xn (x в степени n). С такими выражениями надо привыкнуть обращаться. Вот примеры:

Поясним некоторые из этих примеров: bn – 3 ∙ b5 надо основание b оставить без перемены, а показатели сложить, т. е. (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Конечно, подобные сложения должно научиться выполнять быстро в уме.

Еще пример: xn + 2 ∙ xn – 2, – основание x надо оставить без перемены, а показатель сложить, т. е. (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.

Можно выше найденный порядок, как выполнять умножение степеней с одинаковыми основаниями, выразить теперь равенством:

am ∙ an = am + n

2. Умножение одночлена на одночлен. Пусть, напр., требуется 3a²b³c ∙ 4ab²d².

Мы видим, что здесь обозначено точкою одно умножение, но мы знаем, что этот же знак умножения подразумевается между 3 и a², между a² и b³, между b³ и c, между 4 и a, между a и b², между b² и d².

Поэтому мы можем здесь видеть произведение 8 множителей и можем перемножить их любыми группами в любом порядке. Переставим их так, чтобы коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями оказались рядом, т. е.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

Тогда мы сможем перемножить 1) коэффициенты и 2) степени с одинаковыми основаниями и получим 12a³b5cd².

Итак, при умножении одночлена на одночлен мы можем перемножить коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, а остальные множители приходится переписывать без изменения.

Еще примеры:

3. Умножение многочлена на одночлен. Пусть надо сначала какой-нибудь многочлен, напр., a – b – c + d умножить на положительное целое число, напр., +3. Так как положительные числа считаются совпадающими с арифметическими, то это все равно, что (a – b – c + d) ∙ 3, т. е. a – b – c + d взять 3 раза слагаемым, или

(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,

т. е. в результате пришлось каждый член многочлена умножить на 3 (или на +3).

Отсюда вытекает:

(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,

т. е. пришлось каждый член многочлена разделить на (+3). Также, обобщая, получим:

и т. п.

Пусть теперь надо (a – b – c + d) умножить на положительную дробь, напр., на +. Это все равно, что умножить на арифметическую дробь , что значит взять части от (a – b – c + d). Взять одну пятую часть от этого многочлена легко: надо (a – b – c + d) разделить на 5, а это уже умеем делать, – получим . Остается повторить полученный результат 3 раза или умножить на 3, т. е.

В результате мы видим, что пришлось каждый член многочлена умножить на или на +.

Пусть теперь надо (a – b – c + d) умножить на отрицательное число, целое или дробное,

т. е. и в этом случае пришлось каждый член многочлена умножить на –.

Таким образом, какое бы ни было число m, всегда (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.

Так как каждый одночлен представляет собою число, то здесь мы видим указание, как умножать многочлен на одночлен – надо каждый член многочлена умножить на этот одночлен.

4. Умножение многочлена на многочлен. Пусть надо (a + b + c) ∙ (d + e). Так как d и e означают числа, то и (d + e) выражает какое-либо одно число.

Поэтому

(a + b + c) ∙ (d + e) = a(d + e) + b(d + e) + c(d + e)

(мы можем объяснить это и так: мы вправе d + e временно принять за одночлен).

Далее, выполняя ряд полученных умножений (одночлена на многочлен), получим:

= ad + ae + bd + be + cd + ce

В этом результате можно изменить порядок членов.

Получим:

(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,

т. е. для умножения многочлена на многочлен приходится каждый член одного многочлена умножать на каждый член другого.

Удобно (для этого и был выше изменен порядок полученных членов) умножить каждый член первого многочлена сперва на первый член второго (на +d), затем на второй член второго (на +e), затем, если бы он был, на третий и т. д.; после этого следует сделать приведение подобных членов.

В этих примерах двучлен умножается на двучлен; в каждом двучлене члены расположены по нисходящим степеням буквы, общей для обоих двучленов. Подобные умножения легко выполнять в уме и сразу писать окончательный результат.

Напр.:

От умножения старшего члена первого двучлена на старший член второго, т. е. 4x² на 3x, получим 12x³ старший член произведения – ему подобных, очевидно, не будет. Далее мы ищем, от перемножения каких членов получатся члены с меньшею на 1 степенью буквы x, т. е. с x².

Легко видим, что такие члены получатся от умножения 2-го члена первого множителя на 1-й член второго и от умножения 1-го члена первого множителя на 2-ой член второго (скобки внизу примера это указывают). Выполнить эти умножения в уме и выполнить также приведение этих двух подобных членов (после чего получим член –19x²) – дело нетрудное.

Затем замечаем, что следующий член, содержащий букву x в степени еще на 1 меньшей, т. е. x в 1-ой степени, получится только от умножения второго члена на второй, и ему подобных не будет.

Еще пример: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

Также в уме легко выполнять примеры, вроде следующего:

Старший член получается от умножения старшего члена на старший, ему подобных членов не будет, и он = 2a³.

Затем ищем, от каких умножений получатся члены с a² – от умножения 1-го члена (a²) на 2-ой (–5) и от умножения второго члена (–3a) на 1-ый (2a) – это указано внизу скобками; выполнив эти умножения и соединив полученные члены в один, получим –11a².

Затем ищем, от каких умножений получатся члены с a в первой степени – эти умножения отмечены скобками сверху. Выполнив их и соединив полученные члены в один, получим +11a. Наконец, замечаем, что младший член произведения (+10), вовсе не содержащий a, получается от перемножения младшего члена (–2) одного многочлена на младший член (–5) другого.

Еще пример: (4a3 + 3a2 – 2a) ∙ (3a2 – 5a) = 12a5 – 11a4 – 21a3 + 10a2.

Из всех предыдущих примеров мы также получим общий результат: старший член произведения получается всегда от перемножения старших членов множителей, и подобных ему членов быть не может; также младший член произведения получается от перемножения младших членов множителей, и подобных ему членов также быть не может.

Остальным членам, получаемым при умножении многочлена на многочлен, могут быть подобные, и может даже случиться, что все эти члены взаимно уничтожатся, а останутся лишь старший и младший.

Вот примеры:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³

(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a4 – b4 (пишем только результат)

(x4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x5 + 1 и т. п.

Источник: https://maths-public.ru/algebra1/multiplication-polynomial

Решение примеров со степенями с разными основаниями

Как считать числа с разными степенями. Умножение и деление чисел со степенями

Posted on 20.09.2016 by STILNI_OGLAN_USAGI | (5)

Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени: для любого. Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени, или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны. Примеры на все свойства степени. Упростить: Решение.

При решении II способом мы использовали понятие степени с отрицательным показателем: и свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: am•an=am+n .

Если умножаются (или делятся) две степени, у которых разные основания, но одинаковые показатели, тоРешим данные примеры так, как будто мы не знаем о свойствах степеней: 23 ? 33 = (2 ? 2 ? 2)Свойства степеней также используются при решении примеров: = 24 ? 36. Действия со степенями. Салахова Гульнара Мансуровна, учитель математики.Сегодня мы должны закрепить полученные знания при решении примеров.(Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели вычесть.) Как умножить степени с разными основаниями и показателямиПример: 3(во второй степени) Х 3(в 5 степени) = 3(в 7 степени). Когда пример с разными числами тебе нужно основу(число) сравнять.С решением пж. При решении показательных уравнений, главные правила – действия со степенями.Основания у степеней разные.

В этом уроке приведены примеры решения самых распространённых показательных уравнений. 3 методика:Решение простейших задач со степенями Сложение, вычитание, перемножение степеней Решение задачЕсли вам нужно решить задачу со степенями вручную, перепишите степень в виде операции умножения, где основание степени умножается само на себя.

Деление степеней с одинаковым основанием – основание оставляем, степени вычитаем.Теперь сокращаем дробь со степенями на примере из вашего вопроса.Теперь конкретно решение. 4 -это 2 во второй степени.1) При умножении одинаковых чисел с разными степенями, степени нужно складывать Автор рассматривает примеры умножения степеней с разными основаниями и показателями.Конкретный пример: найти значение выражения 23 24. Чтобы знать, что должно получиться, следует перед началом решения узнать ответ на компьютере. Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени. У нас собраны решения примеров со степенями разных уравнений и дробей.Найти значение выражения. Решение. Основание каждого множителя можно представить в виде степени с основанием 5. Получим С1 ГИА по математике – сокращение дробей (работа со степенями).Чтобы решить пример такого типа, надо разложить основания степеней на “кирпичики” – найти такие числа, которые присутствовалиСначала преобразуем суммы и разности в степенях: Решение: Ответ: 0,08.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаютсяПримеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями. Правила действий со степенями. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (сПример 7. . Пример 8. . 3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.4. Решение примеров на вычисление и упрощение с помощью теоремы 2. Пример 1: Вычислить. Приведем основные свойства действий со степенями.Рассмотрим более сложные примеры рационализации знаменателей: Чтобы перемножить радикалы с разными степенями, их сначала превращают в радикалы с одинаковыми степенями. Если слева и справа стоят степени с разными основаниями, но равными показателями, то хорошо работает следующий приём: обе части уравнения делим на одну из степеней.В заключение приведу пример ещё одного забавного варианта решения.

Исходя из вышеуказанных формул и примеров, легко выводятся три основных правила, связанные со свойством степеней: Если у степени одинаковое основание, показатели разные, а сами основания умножаются. Умножение и деление степеней. Цель урока: научится производить действия со степенями числа.б) если умножаются степени с разным основанием, но одинаковым показателем Что бы an •am запишем через произведение.Пример

Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени: для любого.

Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени, или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны. Примеры на все свойства степени. Упростить: Решение.

При решении II способом мы использовали понятие степени с отрицательным показателем: и свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: am•an=am+n .

Если умножаются (или делятся) две степени, у которых разные основания, но одинаковые показатели, тоРешим данные примеры так, как будто мы не знаем о свойствах степеней: 23 ?

33 = (2 ? 2 ? 2)Свойства степеней также используются при решении примеров: = 24 ? 36. Действия со степенями. Салахова Гульнара Мансуровна, учитель математики.Сегодня мы должны закрепить полученные знания при решении примеров.(Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели вычесть.

) Как умножить степени с разными основаниями и показателямиПример: 3(во второй степени) Х 3(в 5 степени) = 3(в 7 степени). Когда пример с разными числами тебе нужно основу(число) сравнять.С решением пж. При решении показательных уравнений, главные правила – действия со степенями.Основания у степеней разные.

В этом уроке приведены примеры решения самых распространённых показательных уравнений. 3 методика:Решение простейших задач со степенями Сложение, вычитание, перемножение степеней Решение задачЕсли вам нужно решить задачу со степенями вручную, перепишите степень в виде операции умножения, где основание степени умножается само на себя.

Деление степеней с одинаковым основанием – основание оставляем, степени вычитаем.Теперь сокращаем дробь со степенями на примере из вашего вопроса.Теперь конкретно решение.

4 -это 2 во второй степени.1) При умножении одинаковых чисел с разными степенями, степени нужно складывать Автор рассматривает примеры умножения степеней с разными основаниями и показателями.Конкретный пример: найти значение выражения 23 24.

Чтобы знать, что должно получиться, следует перед началом решения узнать ответ на компьютере.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени. У нас собраны решения примеров со степенями разных уравнений и дробей.Найти значение выражения.

Решение. Основание каждого множителя можно представить в виде степени с основанием 5. Получим С1 ГИА по математике – сокращение дробей (работа со степенями).

Чтобы решить пример такого типа, надо разложить основания степеней на “кирпичики” – найти такие числа, которые присутствовалиСначала преобразуем суммы и разности в степенях: Решение: Ответ: 0,08.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаютсяПримеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями. Правила действий со степенями.

Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (сПример 7. . Пример 8. . 3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.4. Решение примеров на вычисление и упрощение с помощью теоремы 2.

Пример 1: Вычислить. Приведем основные свойства действий со степенями.Рассмотрим более сложные примеры рационализации знаменателей: Чтобы перемножить радикалы с разными степенями, их сначала превращают в радикалы с одинаковыми степенями.

Если слева и справа стоят степени с разными основаниями, но равными показателями, то хорошо работает следующий приём: обе части уравнения делим на одну из степеней.В заключение приведу пример ещё одного забавного варианта решения.

Исходя из вышеуказанных формул и примеров, легко выводятся три основных правила, связанные со свойством степеней: Если у степени одинаковое основание, показатели разные, а сами основания умножаются. Умножение и деление степеней.

Цель урока: научится производить действия со степенями числа.б) если умножаются степени с разным основанием, но одинаковым показателем Что бы an •am запишем через произведение.Пример

Источник: http://yqqkh.cba.pl/remont/700-1.php

Темы для повторения по алгебре: степень, действия со степенями (умножение степеней, деление степеней, возведение степени в степень)

Как считать числа с разными степенями. Умножение и деление чисел со степенями

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Материалдля подготовки к переводному экзаменупо математике

(7класс, осенняя сессия)

  1. Темы для повторения по алгебре:

      • степень, действия со степенями (умножение степеней, деление степеней, возведение степени в степень):

;

;

;

;

;

().

      • действия с одночленами и многочленами:
          1. умножение одночлена на одночлен:

Для того чтобы умножить одночлен на одночлен, надо перемножить их коэффициенты и сложить показатели степенного выражения с одинаковыми основаниями, например:

.

          1. сложение и вычитание многочленов:

Для того чтобы сложить (вычесть) два многочлена, надо соединить их знаком + (–), используя правило раскрытия скобок, привести подобные члены, например:

;

.

          1. приведение подобных членов многочлена:

Для того чтобы привести подобные члены многочлена, надо сложить их коэффициенты и дописать их общую буквенную часть, например:

.

          1. умножение одночлена на многочлен:

Для того чтобы умножить одночлен на многочлен, надо каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные одночлены сложить, например:

.

          1. умножение многочлена на многочлен:

Для того чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить каждый член другого многочлена и полученные одночлены сложить, например:

.

      • формулы сокращённого умножения:

– квадрат суммы;

– квадрат разности;

– разность квадратов;

– сумма кубов;

– разность кубов;

– куб суммы;

– куб разности.

      • разложение на множители:
          1. вынесение общего множителя;
          2. использование формул сокращённого умножения;
          3. группировка.
      • линейная функция, её график:
  1. Линейная функция – функция вида , где – независимая переменная, и – некоторые числа.

  2. Графиком линейной функции является прямая. Для построения графика достаточно задать две точки и .

  3. k – угловой коэффициент.

В уравнении функции   коэффициент  отвечает за наклон графика функции:

если , то угол наклона прямой к оси х острый;

если , то угол наклона прямой к оси х тупой.

    1. графический способ;
    2. способ подстановки:
          1. Выбираем одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выражаем из него одну переменную через другую, например, x через y (можно и y через x);
          2. Полученное выражение подставляем вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной.
          3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем значение одной из переменных.
          4. Подставляем полученное значение в выражение, полученное в первом пункте, получаем значение второй переменной.
          5. Выполняем проверку полученного решения, записываем ответ.
    3. способ сложения:

          1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравниваем коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.
          2. Складывая или вычитая полученные уравнения, получаем линейное уравнение с одной переменной.
          3. Решаем полученное уравнение с одной переменной и находим значение этой переменной.
          4. Подставляем полученное значение в любое из двух уравнений системы и решаем это уравнение, получив, таким образом, значение второй переменной.
          5. Выполняем проверку решения, записываем ответ.
  1. Рабочая программа

    … . Умножение и деление алгебраических дробей 28. Совместные действия над алгебраическими дробями Контрольная работа №5 потеме: … n-й степени и степени с рациональным показателем. Задачи – повторение материала, известного учащимся из курса алгебры 7 …

  2. Рабочая программа

    … об умножении и делении алгебраических дробей, возведении их в степень. Уметь самосто- ятельно искать и отбирать необходимую для … Обобщающее повторение курса алгебры за 8 класс 8 Основная цель: – обобщение и систематизация знаний тем курса алгебры

  3. Рабочая программа

    … . 17-19 для сильных стр.20 21 Контрольная работа №2 потеме «линейные уравнения … (а-в),607,611(б),612. Действиясостепенями №612 Алгебра 7класс. 57-59 Умножение одночлена на многочлен …

  4. Программа

    … программа поалгебре и началам анализа для 10 … для выполнения операций умножения и деления комплексных чисел, а также длявозведения комплексного числа в целую степень … через остальные; выполнять основные действиясостепенями с целыми показателями, …

  5. Рабочая программа

    … матема тики для общественного прогресса. тем учебного курса алгебры 8 класса. … повторение 2 Свойства степени с натуральным показателем, действиясостепенями одинакового показателя; разложение на множители по формулам сокращенного умножения

Другие похожие документы..

Источник: https://gigabaza.ru/doc/13349.html

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Как считать числа с разными степенями. Умножение и деление чисел со степенями

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Так, сумма a3 и b2 есть a3 + b2.
Сумма a3 – bn и h5 -d4 есть a3 – bn + h5 – d4.

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a2 и 3a2 равна 5a2.

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степениодинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a2 и a3 есть сумма a2 + a3.

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a3bn и 3a5b6 есть a3bn + 3a5b6.

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Из2a43h2b65(a – h)6
Вычитаем-6a44h2b62(a – h)6
Результат8a4-h2b63(a – h)6

Или:
2a4 – (-6a4) = 8a4
3h2b6 – 4h2b6 = -h2b6
5(a – h)6 – 2(a – h)6 = 3(a – h)6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a3 на b2 равен a3b2 или aaabb.

Первый множительx-33a6y2a2b3y2
Второй множительam-2xa3b2y
Результатamx-3-6a6xy2a2b3y2a3b2y

Или:
x-3 ⋅ am = amx-3
3a6y2 ⋅ (-2x) = -6a6xy2
a2b3y2 ⋅ a3b2y = a2b3y2a3b2y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a5b5y3.

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат – это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a2.a3 = aa.aaa = aaaaa = a5.

Здесь 5 – это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, an.am = am+n.

Для an, a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И am, берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a2.a6 = a2+6 = a8. И x3.x2.x = x3+2+1 = x6.

Первый множитель4anb2y3(b + h – y)n
Второй множитель2anb4y(b + h – y)
Результат8a2nb6y4(b + h – y)n+1

Или:
4an ⋅ 2an = 8a2n
b2y3 ⋅ b4y = b6y4
(b + h – y)n ⋅ (b + h – y) = (b + h – y)n+1

Умножьте (x3 + x2y + xy2 + y3) ⋅ (x – y).
Ответ: x4 – y4.
Умножьте (x3 + x – 5) ⋅ (2×3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых – отрицательные.

1. Так, a-2.a-3 = a-5. Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a-n.am = am-n.

Если a + b умножаются на a – b, результат будет равен a2 – b2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a – y).(a + y) = a2 – y2.
(a2 – y2)⋅(a2 + y2) = a4 – y4.
(a4 – y4)⋅(a4 + y4) = a8 – y8.

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a3b2 делённое на b2, равно a3.

Делимое9a3y4a2b + 3a2d⋅(a – h + y)3
Делитель-3a3a2(a – h + y)3
Результат-3y4b + 3d

Или:$\frac{9a3y4}{-3a3} = -3y4$$\frac{a2b + 3a2}{a2} = \frac{a2(b+3)}{a2} = b + 3$

$\frac{d\cdot (a – h + y)3}{(a – h + y)3} = d$

Запись a5, делённого на a3, выглядит как $\frac{a5}{a3}$. Но это равно a2. В ряде чисел
a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..

Так, y3:y2 = y3-2 = y1. То есть, $\frac{yyy}{yy} = y$.

И an+1:a = an+1-1 = an. То есть $\frac{aan}{a} = an$.

Делимоеy2m8an+m12(b + y)n
Делительym4am3(b + y)3
Результатym2an4(b +y)n-3

Или:
y2m : ym = ym
8an+m : 4am = 2an
12(b + y)n : 3(b + y)3 = 4(b +y)n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a-5 на a-3, равен a-2.
Также, $\frac{1}{aaaaa} : \frac{1}{aaa} = \frac{1}{aaaaa}.\frac{aaa}{1} = \frac{aaa}{aaaaa} = \frac{1}{aa}$.

h2:h-1 = h2+1 = h3 или $h2:\frac{1}{h} = h2.\frac{h}{1} = h3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac{5a4}{3a2}$ Ответ: $\frac{5a2}{3}$.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac{6×6}{3×5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a2/a3 и a-3/a-4 и приведите к общему знаменателю.
a2.a-4 есть a-2 первый числитель.
a3.a-3 есть a0 = 1, второй числитель.
a3.a-4 есть a-1, общий числитель.
После упрощения: a-2/a-1 и 1/a-1.

4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a3/5a7 и 5a5/5a7 или 2a3/5a2 и 5/5a2.

5. Умножьте (a3 + b)/b4 на (a – b)/3.

6. Умножьте (a5 + 1)/x2 на (b2 – 1)/(x + a).

7. Умножьте b4/a-2 на h-3/x и an/y-3.

8. Разделите a4/y3 на a3/y2. Ответ: a/y.

9. Разделите (h3 – 1)/d4 на (dn + 1)/h.

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/slogenie-vichitanie-umnozhenie-delenie-stepeney.html

Свойства степени

Как считать числа с разными степенями. Умножение и деление чисел со степенями
Что такое степень числа Свойства степени Возведение в степень дроби

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

Запомните!

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

am · an = am + n, где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Примеры.

  • Упростить выражение. b · b2 · b3 · b4 · b5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b15
  • Представить в виде степени. 615 · 36 = 615 · 62 = 615 · 62 = 617
  • Представить в виде степени. (0,8)3 · (0,8)12 = (0,8)3 + 12 = (0,8)15

Важно!

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (33 + 32) на 35. Это понятно, если
посчитать (33 + 32) = (27 + 9) = 36 , а 35 = 243

Свойство № 2
Частное степеней

Запомните!

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

= am − n, где «a» — любое число, не равное нулю, а «m», «n» — любые натуральные числа такие, что «m > n».

Примеры.

  • Записать частное в виде степени (2b)5 : (2b)3 = (2b)5 − 3 = (2b)2
  • Вычислить. = 113 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
  • Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней. 38 : t = 34t = 38 : 34t = 38 − 4t = 34 Ответ: t = 34 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

  • Пример. Упростить выражение. 45m + 6 · 4m + 2 : 44m + 3 = 45m + 6 + m + 2 : 44m + 3 = 46m + 8 − 4m − 3 = 42m + 5
  • Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени. = = = = = 211 − 5 = 2 6 = 64

Важно!

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность (43 −42) на 41. Это понятно, если посчитать (43 −42) = (64 − 16) = 48, а 41 = 4

Будьте внимательны!

Запомните!

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

(an)m = an · m, где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

  • Пример. (a4)6 = a4 · 6 = a24
  • Пример. Представить 320 в виде степени с основанием 32.По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

Запомните!

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b)n = an · bn, где «a», «b» — любые рациональные числа; «n» — любое натуральное число.

  • Пример 1. (6 · a2 · b3 · c )2 = 62 · a2 · 2 · b3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a4 · b6 · с 2
  • Пример 2. (−x2 · y)6 = ( (−1)6 · x2 · 6 · y1 · 6) = x12 · y6

Важно!

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

(an · bn)= (a · b) n

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить. 24 · 54 = (2 · 5)4 = 104 = 10 000
  • Пример. Вычислить. 0,516 · 216 = (0,5 · 2)16 = 1

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например, 45 · 32 = 43 · 42 · 32 = 43 · (4 · 3)2 = 64 · 122 = 64 · 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.

421 · (−0,25)20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25))20 = 4 · (−1)20 = 4 · 1 = 4 Запомните!

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b)n = an : bn, где «a», «b» — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней. (5 : 3)12 = 512 : 312

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/stepeni/stepeni2.php

Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры

Как считать числа с разными степенями. Умножение и деление чисел со степенями
Степень, ее свойства, возведение в степень

После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени. В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.

Свойства степеней с натуральными показателями

По определению степени с натуральным показателем степень an представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a. Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел, можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем:

  1. основное свойство степени am·an=am+n, его обобщение an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk;
  2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями am:an=am−n;
  3. свойство степени произведения (a·b)n=an·bn, его расширение (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn;
  4. свойство частного в натуральной степени (a:b)n=an:bn;
  5. возведение степени в степень (am)n=am·n, его обобщение (((an1)n2)…)nk=an1·n2·…·nk;
  6. сравнение степени с нулем:
    • если a>0, то an>0 для любого натурального n;
    • если a=0, то an=0;
    • если a0, если a0.Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a с натуральным показателем n по определению является произведением n множителей, каждый из которых равен a. Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень an есть положительное число. В силу доказанного свойства 35>0, (0,00201)2>0 и .Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень an есть нуль. Действительно, 0n=0·0·…·0=0. К примеру, 03=0 и 0762=0.Переходим к отрицательным основаниям степени.Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m, где m – натуральное. Тогда . По правилу умножения отрицательных чисел каждое из произведений вида a·a равно произведению модулей чисел a и a, значит, является положительным числом. Следовательно, положительным будет и произведение и степень a2·m. Приведем примеры: (−6)4>0, (−2,2)12>0 и .Наконец, когда основание степени a является отрицательным числом, а показатель степени есть нечетное число 2·m−1, то . Все произведения a·a являются положительными числами, произведение этих положительных чисел также положительно, а его умножение на оставшееся отрицательное число a дает в итоге отрицательное число. В силу этого свойства (−5)3an, что и требовалось доказать. Иллюстрацией этого свойства служит неравенство 37>32.

К началу страницыТак как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте.Степень с целым отрицательным показателем, а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b, а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями:

  1. am·an=am+n;
  2. am:an=am−n;
  3. (a·b)n=an·bn;
  4. (a:b)n=an:bn;
  5. (am)n=am·n;
  6. если n – целое положительное число, a и b – положительные числа, причем an, то при 0b−n, которое справедливо для любого целого отрицательного −n и любых положительных a и b, для которых выполняется условие a0, а если и , то при a≥0;
  7. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями при a>0;
  8. свойство произведения в дробной степени при a>0 и b>0, а если и , то при a≥0 и (или) b≥0;
  9. свойство частного в дробной степени при a>0 и b>0, а если , то при a≥0 и b>0;
  10. свойство степени в степени при a>0, а если и , то при a≥0;
  11. свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями: для любых положительных чисел a и b, a0 справедливо неравенство apq при 00 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями:
    1. ap·aq=ap+q;
    2. ap:aq=ap−q;
    3. (a·b)p=ap·bp;
    4. (a:b)p=ap:bp;
    5. (ap)q=ap·q;
    6. для любых положительных чисел a и b, a0 справедливо неравенство apq при 00 обладают этими же свойствами.
      • Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
      • Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений.
      • Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
      • Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.
      • Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений.
      • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

      Некогда разбираться?

      Закажите решение

      К началу страницы

    Источник: http://www.cleverstudents.ru/powers/properties_of_powers.html

    Степени и корни

    Как считать числа с разными степенями. Умножение и деление чисел со степенями

    Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным,

    нулевым и дробнымпоказателем. О выражениях, не имеющих смысла.

      Операции со степенями. 

    1.  При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

                                                    a m ·  a n  =  a m + n.

    2.  При делении степеней с одинаковым основанием их показателивычитаются.

    3.  Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

                                                        ( abc… ) n = a n·b n ·c n

    4.  Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

    ( a / b )n =  a n /  b n .

    5.  При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

    (a m ) n =  a mn .

    Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

    П р и м е р .  ( 2 ·3 ·5 / 15 )² = 2 ²· 3 ²·5 ²  / 15 ²  = 900 / 225 = 4 .

    Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ   означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

    1.  Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

    2.  Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

    3.  При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степеньподкоренное число:

    4.  Если увеличить степень корня в m  раз и одновременно возвести в m-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:                                                                                           

    5.   Если уменьшить степень корня в m  раз и одновременно извлечь корень m-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:                                                                                             

    Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

    Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечинеотрицательного показателя:

    Теперь формула  a m : a n = a m – n может быть использована не только при  m , большем, чем  n , но и при  m ,  меньшем, чем  n .  

    П р и м е р .   a4:  a7 = a 4 – 7 = a -3 .

    Если мы хотим, чтобы формула  a m : a n=a m была справедлива при m = n,нам необходимо определение нулевой степени.

     Степень с нулевым показателем.  Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

    П р и м е р ы .  2 0 = 1,   ( 5 ) 0 = 1,   ( 3 / 5 ) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем.  Для того, чтобы возвести действительное число а в степень  m / n , нужно извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а :

    О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

    Случай 1. 

         где  a ≠ 0 ,  не существует.

    В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

    Случай 2. 

          – любое число.

    В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.

    Случай 3.

    Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то

        0 0   – любое число.

    Действительно, 

    Р е ш е н и е .  Рассмотрим три основных случая:

                             1)   x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

                                   ( Почему? ).         

                             2)   при x > 0  получаем:  x / x = 1,  т.e. 1 = 1, откуда следует,

    чтоx – любое число; но принимая во внимание, что в

                                   нашем случае x > 0 , ответом является  x > 0 ; 

                             3)   при x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

                                    в этом случае нет решения.

                             Таким образом,  x > 0.

    Назад

    Источник: https://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.