Методика ознакомления с правилом деления суммы на число и числа на произведение. Свойства деления натуральных чисел – спиши у антошки

Содержание

Свойства деления натуральных чисел, свойство деления суммы на число

Методика ознакомления с правилом деления суммы на число и числа на произведение. Свойства деления натуральных чисел - спиши у антошки

В рамках этой статьи мы изучим общие представления, связанные с делением натуральных чисел. Их принято называть свойствами процесса деления. Мы разберем основные из них, поясним их значение и подкрепим свои рассуждения примерами.

Деление двух равных натуральных чисел

Чтобы понять, как разделить одно натуральное число на другое, равное ему, нужно вернуться к пониманию смысла самого процесса деления. От того, какой смысл мы придаем делителю, зависит конечный результат. Разберем два возможных варианта.

Итак, мы имеем a предметов (a – произвольно взятое натуральное число). Распределим предметы по группам поровну, при этом число групп должно быть равно a. Очевидно, что в каждой группе при этом будет всего один предмет.

Переформулируем немного иначе: как распределить a предметов в группы по a предметов в каждой? Сколько групп получится в итоге? Конечно, всего одна.

Подведем итоги и выведем первое свойство деления натуральных чисел одинаковой величины:

Определение 1

Деление натурального числа на равное ему дает в итоге единицу. Иначе говоря, a: a=1 (a – любое натуральное число).

Разберем для наглядности два примера:

Пример 1

Если 450 разделить на 450, будет 1. Если 67 разделить на 67, получится 1.   

Как видно, от конкретных цифр тут ничего не зависит, результат будет один и тот же при условии равенства делимого и делителя.

Деление натурального числа на единицу

Как и в предыдущем пункте, начнем с задач. Допустим, что у нас имеются любые предметы в количестве, равном a. Необходимо разделить их на некоторое количество частей по одному предмету в каждой. Понятно, что у нас выйдет a частей.

А если мы спросим: сколько предметов будет в группе, если в нее поместить a предметов? Ответ очевиден – a.

Таким образом, мы подходим к формулированию свойства деления натуральных чисел на 1:

Определение 2

При делении любого натурального числа на единицу получится то же самое число, то есть a:1=a.   

Разберем 2 примера:

Пример 2

Если разделить 25 на 1, получится 25.

Пример 3

Если разделить 11 345 на 1, результатом будет 11 345. 

Отсутствие переместительного свойства для деления натуральных чисел

В случае с умножением мы свободно можем поменять множители местами и получить тот же результат, однако на деление это правило не распространяется.

Менять местами делимое и делитель можно только в случае, если они являются равными натуральными числами (это свойство мы уже рассматривали в первом пункте).

То есть можно сказать, что переместительное свойство распространяется только на случай, если в делении участвуют равные натуральные числа.

В остальных случаях менять местами делимое с делителем нельзя, поскольку это приведет к искажению результата. Объясним подробнее, почему.

Разделять любые натуральные числа на другие, также произвольно взятые, мы можем не всегда.

Например, если делимое меньше делителя, то такой пример решить мы не можем (как делить натуральные числа с остатком, мы разберем в отдельном материале).

Иными словами, если некоторое натуральное число, равное a, мы можем разделить на b? И их значения при этом не равны, то a будет больше b, а запись b:a смысла иметь не будет. Выведем правило:

Определение 3

В общем случае переместительное свойство на деление натуральных чисел не распространяется, т.е. a: b ≠ b: a (a и b здесь – произвольно взятые натуральные числа, не равные друг другу).  

Деление суммы 2-х натуральных чисел на другое натуральное число

Чтобы лучше объяснить это правило, возьмем наглядные примеры.

У нас есть группа детей, между которыми надо поровну разделить мандарины. Фрукты сложены в два пакета. Возьмем условие, что количество мандаринов таково, что можно поделить их на всех детей без остатка.

Можно пересыпать мандарины в один общий пакет, а потом поделить и раздать. А можно поделить сначала фрукты из одного пакета, а потом из другого. Очевидно, что и в том, и в другом случае никто не будет в обиде и все будет разделено поровну.

Следовательно, мы можем сказать:

Определение 4

Результат деления суммы 2-х натуральных чисел на другое натуральное число равен результату сложения частных от деления каждого слагаемого на то же натуральное число, т.е. (a + b): c = a: c + b: c.  При этом значения всех переменных – это натуральные числа, значение a можно разделить на c, и b также можно разделить на c без остатка.     

У нас получилось равенство, в правой части которого первым выполняется деление, а вторым – сложение (вспомним, как правильно выполнять арифметические действия по порядку).

Докажем справедливость получившегося равенства на примере.

Пример 4

Возьмем для него подходящие натуральные числа: (18+36):6=18:6+36:6.

Теперь вычислим и узнаем, верное ли оно. Подсчитаем значение левой части: 18+36=54, и (18+36):6=54:6.

Результат мы помним из таблицы умножения (если забыли, найдите в ней нужное значение): 54:6=9.

Далее считаем правую часть: 18:6+36:6.

Вспоминаем, сколько будет 18:6=3 и 36:6=6. Значит, 18:6+36:6=3+6=9.

Получается верное равенство: (18+36):6=18:6+36:6.  

Сумма натуральных чисел, которая стоит в примере в качестве делимого, может быть не только 2, но и 3 и больше. Это свойство в комбинации с сочетательным свойством сложения натуральных чисел дает нам возможность выполнять и такие подсчеты.

Пример 5

Так, (14+8+4+2):2 будет равно 14:2+8:2+4:2+2:2.

Деление разности 2-х натуральных чисел на другое натуральное число

Подобным образом можно вывести правило для разности натуральных чисел, которую мы будем делить на другое натуральное число:

Определение 5

Результат деления разности двух натуральных чисел на третье равен тому, что мы получим, отняв от частного уменьшаемого и третьего числа частное вычитаемого и третьего числа.

Т.е. (a-b): c=a: c – b: c. Значения переменных – натуральные числа, при этом a больше b или равно ему, a и b можно разделить на c. 

Докажем справедливость этого правила на примере.

Пример 6

Подставим подходящие значения в равенство и вычислим: (45-25):5=45:5-25:5. 45-25=20 (о том, как находить разность натуральных чисел, мы уже писали ранее). (45-25):5=20:5.

По таблице умножения вспоминаем, что результат будет равен 4.

Считаем правую часть: 45:5-25:5. 45:5=9, а 25:5=5, в итоге 45:5-25:5=9-5=4. 4=4, выходит, что (45-25):5=45:5-25:5 – верное равенство. 

Деление произведения двух натуральных чисел на другое натуральное число

Вспомним о том, какая связь существует между делением и умножением, тогда свойство деления произведения на натуральное число, равное одному из множителей, будет нам очевидно. Выведем правило:

Определение 6

Если разделить произведение двух натуральных чисел на третье, равное одному из множителей, в итоге мы получим число, равное другому множителю.

В буквенном виде это можно записать как (a·b): a=b или (a·b):b=a (значения a и b представляют собой натуральные числа).

Пример 7

Так, результат деления произведения 2 и 8 на 2 будет равен 8, а (3·7):7=3.

А как быть в случае, если делитель не равен ни одному из множителей, которые образуют делимое? Тогда здесь действует другое правило:

Определение 7

Результат деления произведения двух натуральных чисел на третье натуральное число равен тому, что получится, если разделить на это число один из множителей и результат умножить на другой множитель.

Мы получили весьма неочевидное на первый взгляд утверждение. Однако если учесть, что умножение натуральных чисел, по сути, сводится к сложению равных по значению слагаемых (см. материал об умножении натуральных чисел), то можно вывести этой свойство из другого, о котором мы говорили чуть выше.

Запишем это правило в буквенном виде (значения всех переменных – натуральные числа).

Если a мы можем разделить на c, то будет верно (a·b):c=(a:c) ·b.

Если b делится на c, то верно (a·b):c=a·(b:c).

Если и a, и b делятся на c, то можем приравнять одно равенство к другому: (a·b):c=(a:c) ·b=a·(b:c).

С учетом рассмотренного выше свойства деления произведения на другое натуральное число будут верны равенства (8·6):2= (8:2) ·6 и (8·6):2=8· (6:2).

Мы можем записать их в виде двойного равенства: (8·6):2= (8:2) ·6=8· (6:2).

Деление натурального числа на произведение 2-х других натуральных чисел

И вновь мы начнем с примера. У нас есть некоторое количество призов, обозначим его a. Их надо поровну распределить между участниками команд. Обозначим число участников буквой c, а команд – буквой b. При этом возьмём такие значения переменных, при которых запись деления будет иметь смысл. Задачу можно решить двумя разными способами. Рассмотрим оба.

1.  Можно вычислить общее количество участников, умножив b на c, после чего разделить все призы на полученное число. В буквенном виде это решение можно записать как a:(b·c).

2. Можно поделить сначала призы на количество команд, а потом распределить их внутри каждой команды. Запишем это как (a:b):c.

Очевидно, что оба способа дадут нам идентичные ответы. Поэтому оба равенства мы можем приравнять друг к другу: a:(b·c)=(a:b):c. Это и будет буквенная запись свойства деления, которое мы рассматриваем в этом пункте. Сформулируем правило:

Определение 8

Результат деления натурального числа на произведение равен числу, которое мы получим, разделив это число на один из множителей и получившееся частное разделить на другой множитель. 

Пример 8

Приведем пример задачи. Докажем, что справедливо равенство 18:(2·3) = (18:2):3.

Подсчитаем левую часть: 2·3=6, а 18:(2·3) – это 18:6=3.

Считаем правую часть: (18:2):3. 18:2=9, а 9:3=3, тогда (18:2):3=3.

У нас получилось, что 18:(2·3)=(18:2):3. Это равенство иллюстрирует нам свойство деления, которое мы привели в данном пункте. 

Деление нуля на натуральное число

Что такое нуль? Ранее мы условились, что он означает отсутствие чего-либо. Нуль мы не относим к натуральным числам. Получается, что, если мы разделим нуль на натуральное число, это будет равнозначно попытке разделить пустоту на части. Понятно, что в итоге мы все равно получим «ничто», на сколько бы частей мы его не делили. Выводим отсюда правило:

Определение 9

При делении нуля на любое натуральное число мы получим нуль. В буквенном виде это записывается как 0: a=0, при этом значение переменной может быть любое.

Пример 9

Так, например, 0:19=0, и 0:46869 тоже будет равно нулю. 

Деление натурального числа на нуль

Это действие выполнить нельзя. Давайте выясним, почему именно.

Возьмем произвольное число a и предположим, что его можно разделить на 0 и получить в итоге некое число b. Запишем это как a:0=b. Теперь вспомним, как связано между собой умножение и деление, и выведем равенство b·0=a, которое также должно быть справедливым.

Но ранее мы уже поясняли свойство умножения натуральных чисел на ноль. Согласно ему b·0=0. Если сопоставить полученные равенства, у нас получится, что a=0, а это противоречит исходному условию (ведь нуль не является натуральным числом). Выходит, что у нас получилось противоречие, которое доказывает невозможность такого действия.

Определение 10

Делить натуральное число на нуль нельзя.

Источник: https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/svojstva-delenija-naturalnyh-chisel/

Примеры куб суммы куб разности

Методика ознакомления с правилом деления суммы на число и числа на произведение. Свойства деления натуральных чисел - спиши у антошки

Куб первой переменной плюс куб второй переменной, плюс утроенное произведение квадрата первой переменной и второй переменной, плюс утроенное произведение первой переменной и квадрата второй переменной.

Куб первой переменной плюс куб второй переменной, плюс утроенное произведение квадрата первой переменной и второй переменной, плюс утроенное произведение первой переменной и квадрата второй переменной.

Индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. по формуле (2.1)) нахождение определителя n-го порядка сводится к вычислению и определителей (n-1)-го порядка.

Нахождение каждого определителя (n-1)-го порядка сводится к вычислению определителей n-го порядка, которые находим по первому правилу.

Конечно, такая процедура неудобна из-за своей громоздкости, но вполне реализуема и может быть принята в качестве определения.

  • Конечно, такая процедура неудобна из-за своей громоздкости, но вполне реализуема и может быть принята в качестве определения.
  • Квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют Первое свойство определителя доказывается по индукции.
  • Доказательства остальных свойств проводятся с использованием формулы разложения определителя по элементам столбца.
  • Например, для доказательства второго свойства достаточно разложить определитель по элементам нулевого столбца (предположим, что j-й столбец нулевой, т.е.
  • Для доказательства свойства 10 нужно прочитать формулу разложения определителя справа налево, а именно, сумму произведений элементов i-го столбца на алгебраические дополнения элементов j-го столбца представить как разложение по j-му столбцу определителя[math]\begin A_=(-1)\!

.\end[/math] Разложим определитель по последнему столбцу. Так как в этом столбце все элементы нулевые, за исключением последнего, равного 1, получим определитель такого же вида, что и исходный, но меньшего порядка.

Раскладывая полученный определитель по последнему столбцу, уменьшаем его порядок.

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Так постепенно, в течение тысячелетий, формировалось понятие числа.

Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона). Люди учились называть и записывать числа, проводить с ними вычисления и создали тот пласт математической культуры, который в дальнейшем был назван арифметикой.

  • Пояснение: Для скачивания книги (с Гугл Диска), нажми сверху справа – СТРЕЛКА В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ . Для чтения – просто листай колесиком страницы вверх и вниз. Значительную часть этого многовекового пути мы уже прошли в начальной школе – подобно тому, как за 9 месяцев каждый из нас из зародыша превратился в человека, проделав путь, на который природе понадобились миллионы лет.
  • Емия Президента РФ в области образования за 2002 год). Теперь нам предстоит “прожить” еще несколько веков развития математики и прежде всего изучить арифметику дробных чисел – научиться сравнивать дроби между собой, совершать с ними арифметические действия, а главное – использовать эти числа при решении пргпстических задач. Натуральные числа служат, прежде всего, для счета предметов.
  • Открытый УМК «Школа 2(ХЮ…» включает в себя ненрерывиый курс математики «Учусь учиться» и любые учебники Федеральных перечней по другим учебным предметам на основе деятельностного метода обучения. Рекомендуется использование учебного пособия «Построй спою математику», 5 класс (эталоны -правила, формулы, алгоритмы, снособы действий учащихся ио всем темам данного учебника). Но вначале нам необходимо вспомнить некоторые важные сведения о натуральных числах и дробях, известные из начальной школы. Они получаются и при измерении величин, – но только тогда, когда выбранная мерка укладывается в измеряемой величине целое число раз.
  • УДК 3 ББК 22.1я721 Курсовую подготовку учителей к реализации деятельностного метода обучения осуществляют Центр системно-деятельностной педагогики «Школа 2000…» АПК и ППРО РФ, Институт системно-деятельностной педагогики 125212 Москва, Головинское шоссе, д. 2 Тел./факс: (495) 797-89-77, 452-22-33 E-mail: info('sch2000Интернет: 978-5-85429-042-.'} (8-й завод) (О Издатольстно «Ювепта», Л. Например, число 5 – это количество кошек на рисунке и длина отрезка АВ в сантиметрах: В АВ = 5 см Множество натуральных чисел обозначают буквой N. Как нам уже известно, для записи натуральных чисел обычно пользуются десятичной позиционной системой записи чисел.

Для ответа на более сложные вопросы – например, сколько овец в двух стадах, у кого из двух земледельцев урожай больше – понадобилось научиться складывать числа, сравнивать их между собой.

Петерсон МАТЕМАТИКА Учебник для 5 класса Часть 2 V ИЗД,\ТЕЛЬСТВО ЮВЕНТА Москва 2011 J в книге используются условные обозначения: – задачи по новой теме для работы в классе, 0 О О задачи для домашней работы, повторение ранее пройденного. ”: сколько овец в стаде, сколько мер зерна собрано с поля, сколько верст от села до уездного центра и т. Человечеству понадобилось придумать новые – дробные – числа, то есть придумать дроби.

Разложение на множители суммы и разности кубов примеры

Понятие дроби С самых древних времен для решения жизненно важных вопросов людям приходилось считать предметы и измерять величины, то есть отвечать на вопрос “Сколько? Как иногда в шутку говорят математики, “Бог создал натуральные числа, а все остальное – дело рук человеческих”. И еще долгое время после того, как мамонты вымерли, разделив три лепешки поровну на пятерых своих детей, их мама не могла сказать, сколько же лепешек получил каждый.

Так, убив мамонта и разделив его поровну, 10 охотников не могли сказать, “сколько мамонтов” получил каждый.

Класс Алгебра Возведение в куб суммы и разности двух

Любые два натуральных числа можно сравнить по величине, можно сложить или перемножить.

Действия сложения и умножения натуральных чисел обладают следующими основными свойствами: а Ь = Ь а — переместительное свойство сложения; (а Ь) с = а {Ь с) — сочетательное свойство сложения; ah = Ъа — переместительное свойство умножения; (ah)c = a(hc) — сочетательное свойство умножения; (а Ь)с = ас Ъс — распределительное свойство умножения относительно сложения.

Формулы сокращенного умножения. Подробная теория с

Натуральные числа можно не только складывать и умножать, но и вычитать и делить.

Мы уже знаем, что на множестве натуральных чисел N: Разность чисел аи Ь- это такое число с, что Ь с = а.

Частное чисел а и 6 — это такое число с, что Ьс = а.

Разложение на множители с помощью формул куб суммы и куб

Это определения разности и частного натуральных чисел.

  • С помощью знака равносильности их можно записать так: а-Ъ = сос Ъ = а а : Ь = с с Ь = а – Ь : Ь 0 а а В ь • ь Вычитание и деление являются обратными действиями по отношению к сложению и умножению соответственно, то есть: (а -&) & = а (а :&)•& = а {а Ъ) – Ь = а {а • Ъ) : Ь = а (при условии, что данные действия вычитания и деления выполнимы на множестве N).
  • Глава 3, §1, п.1 В отличие от сложения и умножения, вычитание и деление натуральных чисел можно выполнить не всегда.
  • Например, нельзя число 7 разделить на 2 — нет такого натурального числа с, для которого с • 2 = 7.
  • С другой стороны, на практике 7 одинаковых яблок можно разделить поровну между 2 детьми.

Но в этом случае неизбежно появляется половина яблока – дробное число яблок, для математического обозначения которого вводится дробь .

Тогда при дележе яблок каждый получит 7 половинок, или от целого яблока, и мы видим, что применение дробных чисел позволяет ответить на вопрос “Сколько?

” и в тех случаях, когда натуральных чисел недостаточно.

Для того чтобы математическая теория могла отвечать на практические вопросы, во всех таких случаях вводятся в рассмотрение новые – дробные -числа, или дроби. С помощью дробей можно представить результат деления любого натурального числа на любое натураль- ное число, например: 7:2 = 3 : 7 = 1®.

2 7 24 И вообще, для любых натуральных чисел тип можно записать: т т п = —.

Куб суммы и куб разности. Правила – СПИШИ У АНТОШКИ

П т п п неправильные: В дроби (читается: “эм на эн” или “эм энных”) число т, находящееся над чертой, называется числителем, а число л, находящееся под чертой, – знаменателем.

Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили единицу (“целое”), ачислитель показывает, сколько таких частейвзяли. Если натуральные числа дополнить нулем, то, взяв т = О, будем считать, что О : п = — (п ФО).

  • Если числитель дроби равен ее знаменателю, то п : п Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь называют правильной, а если он больше или равен знаменателю, то дробь называют неправильной.
  • 1 2 7 Например, дробь — – правильная, а дроби -г и — 2 2 2 Правильные дроби меньше 1, а неправильные — больше или равны 1.
  • Глава 3, §1, п.1 При делении 7 яблок на двоих детей ответ можно получить и другим способом: раздать каждому по 3 яблока и одно оставшееся разделить пополам.
  • Тогда каждый получит по 3 -I- , или, как обычно записывают, 3 яблока.

Вторая запись при этом называется смешанным числом (или смешанной дробью) — “целое число дробь”.

Куб разности и разность. –

Ясно, что при любом из рассмотренных способов дележа каждый получит 7 1 7 1 од но и то же количество яблок, значит, числа “2 При этом оба числа могут быть преобразованы друг в друга по следующим правилам.

Презентация “Возведение в куб суммы и разности”

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, числитель делят на знаменатель с остатком: частное дает целую часть, остаток – числитель, а делитель – знаменатель дробной части.

Материал по математике “Разложение на множители суммы и

В нашем примере: _ 7 I 2 — знаменатель дробной части 6 3 — целая часть 1 — числитель дробной части Обратно, чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, можно: 1) знаменатель умножить на целую часть; 2) к произведению прибавить числитель дробной части; 3) полученную сумму записать в числитель, а знаменатель оставить без изменений.

А именно: 3 1 _ 7 2 2‘ Эти правила можно использовать для любых смешанных чисел и неправиль- 39 4 ных дробей. 1) *1***и9**; 2) 27** и 30**; 3) 99*** и *8***; 4)***5и***6.

Куб суммы и куб разности. –

Ознакомимся с примером.

Например, — = 5 у, так как при делении 39 на 7 получается част- к .47-5 4 39 ное 5 и остаток 4. Если числитель неправильной дроби делится на знаменатель без остатка, то 18 эта дробь преобразовывается в натуральное число: — = 18 : 3 = 6. Глава 3, §1, п.

1 а Запиши цифрами число: 1) следующее за числом восемьсот пять миллионов двести семьдесят девять тысяч девятьсот девяносто девять; 2) предшествующее числу семьдесят четыре миллиарда пятьдесят шесть миллионов две тысячи девятьсот; 3) предшествующее числу 35001 400 000; 4) следующее за числом 192 939 495 999.

Прочитай определение и назови определяемое понятие: Произведением числа а на число ЫЬ 1) называется сумма Ь слагаемых, каждое из которых равно а: а‘ Ь а а …

О Натуральные и дробные числа можно изображать точками числового (координатного) луча. а, где а, Ь N h раз а т а Почему при Ь = 1 и ft = о данное определение не имеет смысла?

  • Это луч, на котором расположены числа по следующему правилу: выбран единичный отрезок, начало луча соответствует числу О, а все остальные точки соответствуют числам, равным расстояниям от этой точки до начала луча. Как определяется понятие произведения в этих случаях? Прочитай в тексте данного пункта учебника определения разности и частного.
  • А Е М С »——-1–1—1 • I—–1—1——–1————-1- h 0 2 3 3| 4 6 8 Глава 3, §1, п.1 Число, соответствующее некоторой точке числового луча, называется координатой этой точки. Пользуясь ими, найди, если возможно, значения выражений: а – 0, а – а, а : 1, а: а, 0 : а, а: 0. Счет-тест (10 мин) 1) 938 790 475 I 13 076 225 542; 3) 67 190 • 40 500; 2) 210 521 052 105 – 209 286 484 215; 4) 5 925 100 800 : 976.
  • Например, координатой точки Е является число 1, координатой А – число , координатой М – число 3 —, а координатой С – число 7. По расположению двух точек на числовом луче можно сравнивать числа: большее из двух чисел расположено правее, а м[еньшее — левее. Запиши в тетрадь буквенные равенства, выражающие свойства сложения и умножения: переместительное, сочетательное, распределительное – и объясни их смысл.

Источник: http://dveri5.spb.ru/primery-kub-summy-kub-raznosti.html

Свойства действия умножения словами

Методика ознакомления с правилом деления суммы на число и числа на произведение. Свойства деления натуральных чисел - спиши у антошки

Для любых натуральных чисел верны равенства: m · (a + b + .) = m · a + m · b + . (a + b + .) · m = a · m + b · m + .

выражающие распределительный закон умножения: Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.

Распределительный закон умножения можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек, представленных на рисунке: Первый: в каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 зелёных звёздочек, то есть всего в каждом ряду (3 + 5) звёздочек. В четырёх рядах всего (3 + 5) · 4 звёздочек.

Второй: жёлтые звёздочки расположены в четыре ряда по 3 звёздочки в каждом, то есть всего жёлтых звёздочек 3 · 4, а зелёных – 5 · 4.

Кроме того, для любых натуральных

Методика ознакомления с переместительным и сочетательным свойствами умножения

Выясняется, что означают в данном случае числа 6, 2 и 12.

Сочетательное св-во: в учебнике Моро изучение сочетательного свойства умножения, которое представлено как умножение числа на произ­ведение, предшествует изучению темы «Умножение на числа, оканчивающиеся нулями».

Это позволяет познакомить учащихся с новым способом действия при выполнении устных вычислений для данного случая умножения и обосновать ту форму записи «в стол­бик», которая используется при умножении чисел, оканчивающих­ся нулями.

При знакомстве

Умножение.

Переместительное свойство умножения

А это в математике не принято. Поэтому договорились, что: a * 1 = a. Если b = 0, то договрились считать, что: a * 0 = 0.

В частности, 0 * 0 = 0. Рассмотрим произведения 1 * a и 0 * a, где a − натуральное число, отличное от 1. Имеем: $$ 1 * a = \underbrace{1 + 1 + 1 + . + 1}_{a-слагаемых} = a, $$ $$ 0 * a = \underbrace{0 + 0 + 0 + . + 0}_{a-слагаемых} = 0.

$$ Теперь можно сделать следующие выводы.

Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно другому множителю: a * 1 = 1 * a = a Если один из двух множителей равен нулю, то произведение равно нулю: a * 0 = 0 * a = 0 Произведение двух чисел, отличных от нуля, нулем быть не может.

Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Количество квадратов на рисунке 140 мы подсчитали так: 5 + 5 + 5 = 5 * 3 = 15. Однако этот полсчет можно было сделать и другим способом.

Прямоугольник разделен на пять столбцов, в каждом из которых есть три квадрата.

Свойства умножения — СПИШИ У АНТОШКИ

Переместительное свойство умножения натуральных чисел:при перестановке множителей значение произведения не меняется.Это переместительное свойство умножения. Если его записать буквами, то оно выглядит так:m • n = n • m .Рассмотрим пример, подтверждающий справедливость переместительного свойства умножения двух натуральных чисел.

Отталкиваясь от смысла умножения двух натуральных чисел, вычислим произведение чисел 2 и 6, а также произведение чисел 6 и 2, и проверим равенство результатов умножения.

Произведение чисел 6 и 2 равно сумме 6+6, из таблицы сложения находим 6+6=12.

А произведение чисел 2 и 6 равно сумме 2+2+2+2+2+2, которая равна 12 (при необходимости смотрите материал статьи сложение трех и большего количества чисел).

Следовательно, 6·2=2·6.2. Сочетательное свойство умножения натуральных чисел:умножить данное число на данное произведение двух чисел – это то же самое, что умножить

Математика: переместительное свойство умножения

Любые примеры с большими числами записывать и решать их, используя переместительное свойство умножения, удобнее. Объяснить закон можно просто: любой пример на умножение можно записать в виде сложения: 2 · 3 = 2 + 2 + 2 3 · 2 = 3 + 3.

Если число нужно умножить на произведение чисел, произвести вычисление можно различными способами:

  1. раскрыть скобки, перемножить первые два числа, затем итог умножить на оставшееся.
  2. получить произведение в скобках, затем умножить оставшееся число на итог;

Это сочетательный закон умножения:

Умножение

Сколько было котят? Это значит, что котят было 4 раза по 2.

2 + 2 + 2 + 2 = 4 (к.) Заменяем сложение умножением и получаем: 2 • 4 = 8 (к.) Например, решим задачу: В магазине было 8 котят и 2 лисички.

Во сколько раз котят было больше, чем лисичек?

Во сколько раз лисичек было меньше, чем котят? Чтобы ответить на эти вопросы, нужно узнать, сколько раз по 2 содержится в 8?

8 : 2 = 4 (раза) Значит, котят в 4 раза больше, чем лисичек, а лисичек в 4 раза меньше, чем котят. Поделись с друзьями в социальных сетях: 2 класс , , , , , , , , , , 3 класс , , , , , , , , , , 5 класс , © 2020 — budu5.com, Буду отличником!

Умножение и его свойства

От перестановки множителей произведение не изменяется.

  1. Например:
  2. 7 * 6 * 5 = 5 * 6 * 7 = 210
  3. а * Ь * с = с * Ь * а

Правило.

  1. a * (b + c) = ab + ac
  2. Например:
  3. 7 * (6 + 5) = 7 * 6 + 7 * 5 = 77

Распределительный закон распространяется и на действие вычитания.

  1. Например:
  2. 7 * (6 — 5) = 7 * 6 — 7 * 5 = 7

Законы умножении распространяются на любое количество множителей в числовом или буквенном выражении. Распределительный закон умножения используется для вынесения общего множителя за скобки.

Правило. Чтобы преобразовать сумму (разность) в произведение, достаточно вынести за скобки одинаковый множитель слагаемых, а оставшиеся множители записать в скобках суммой (разностью).

Умножение, сложение, вычитание и деление целых чисел: основные свойства

Согласно свойству ассоциативности справедливы равенства: 64+81+(-49)=64+81+(-49)=64+81+(-49); (128+(-75))+96=128+((-75)+96). 1. Число нуль — нейтральный по сложению элемент. Прибавление нуля к любому целому числу не меняет этого числа.

a+0=a 2. Сумма любого целого числа и противоположного ему числа равна нулю.

a+(-a)=0 Как и в случае со сложением, все свойства умножения натуральных чисел переносятся на целые числа.

Для умножения также действуют переместительный и сочетательный (коммутативный и ассоциативный) законы.

От перемены мест множителей произведение не меняется.

a·b=b·a Приведем пример. Очевидно, что произведение целых чисел 2·3 эквивалентно произведению 3·2. Сочетательное свойство для умножения эквивалентно сочетательному свойству сложения.

В буквенном виже оно записывается следующим образом: a·(b·c)=(a·b)·c a, b, c — произвольные целые числа. Примечание: данное свойство применимо и для большего количества множителей.

Математика

Произведение есть число, которое получается от умножения. Оно есть сумма равных слагаемых. Множимое и множитель вместе называются производителями.

При умножении целых чисел одно число увеличивается во столько раз, сколько в другом содержится единиц. Знак умножения. Действие умножения обозначают знаком × (косвенным крестом) или .

(точкой). Знак умножения ставится между множимым и множителем.

Повторить число 7 три раза слагаемым и найти сумму значит 7 умножить на 3. Вместо того, чтобы писать 7 + 7 + 7 пишут при помощи знака умножения короче: 7 × 3 или 7 · 3 Умножение есть сокращенное сложение равных слагаемых. Знак (×) был введен Отредом (1631 г.), а знак .

Христианом Вольфом (1752 г.).

Источник: http://27advokat.ru/svojstva-dejstvija-umnozhenija-slovami-48094/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.