Обратное числу 4 3. Обратное число

Взаимно обратные числа: как найти, что это такое

Обратное числу 4 3. Обратное число

Дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Рассмотрим, как находить число, обратное натуральному числу и обратное обыкновенной дроби. Помимо этого, запишем и докажем неравенство, отражающее свойство суммы взаимно обратных чисел.

Взаимно обратные числа. Определение

Определение. Взаимно обратные числа

Взаимно обратные числа – такие числа, произведение которых дает единицу.

Если a·b=1, то можно сказать, что число a обратно числу b, так же как и число b обратно числу a.

Самый простой пример взаимно обратных чисел – две единицы. Действительно, 1·1=1, поэтому a=1 и b=1 – взаимно обратные числа. Другой пример – числа 3 и 13, -23 и -32,  613 и 136, log317 и log173. Произведение любой пары указанных выше чисел равно единице. Если это условие не выполняется, как например у чисел 2 и 23, то числа не являются взаимно обратными.

Определение взаимно обратных чисел справедливо для любый чисел – натуральных, целых, действительных и комплексных.

Как найти число, обратное данному

Рассмотрим общий случай. Если исходное число равно a, то обратное ему число запишется в виде 1a, или a-1. Действительно, a·1a=a·a-1=1.

Для натуральных чисел и обыкновенных дробей найти обратное число довольно просто. Можно сказать, даже очевидно. В случае нахождения числа, обратного иррациональному или комплексному числу, придется произвести ряд вычислений.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи нахождения обратного числа.

Число, обратное обыкновенной дроби

Очевидно, что число, обратное обыкновенной дроби ab – это дробь ba. Итак, чтобы найти обратное дроби число, дробь нужно просто перевернуть. То есть, поменять числитель и знаменатель местами.

Согласно этому правилу, записать обратное любой обыкновенной дроби число можно практически сразу. Так, для дроби 2857 обратным числом будет дробь 5728, а для дроби 789256 – число  256789.

Число, обратное натуральному числу

Найти число, обратное любому натуральному числу, можно так же, как и число, обратное дроби. Достаточно представить натуральное число a в виде обыкновенной дроби a1. Тогда обратным ему числом будет число 1a. Для натурального числа 3 обратным ему числом будет дробь 13, для числа 666 обратное число равно 1666, и так далее.

Отдельное внимание стоит уделить единице, так как это единственное число, обратное число для которого равно ему самому.

Других пар взаимно обратных чисел, где обе составляющие равны, не существует. 

Число, обратное смешанному числу

Смешанное число имеем вид abc. Чтобы найти обратное ему число, необходимо смешанное число представить в сиде неправильной дроби, и уже для полученной дроби подобрать обратное число.

Например, найдем обратное число для 725. Сначала представим 725 в виде неправильной дроби: 725=7·5+25=375.

Для неправильной дроби 375 обратным числом будет дробь 537.

Число, обратное десятичной дроби

Десятичная дробь также можно представить в виде обыкновенной дроби. Нахождение обратного десятичной дроби числа сводится к представлению десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и нахождению обратного числа для нее. 

Например, есть дробь 5,128. Найдем обратное ей число. Сначала переводим десятичную дробь в обыкновенную: 5,128=51281000=532250=516125=641125. Для полученной дроби обратным числом будет дробь 125641.

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Нахождение числа, обратного десятичной дроби

Найдем обратное число для периодической десятичной дроби 2,(18). 

Переводим десятичную дробь в обыкновенную:

2,18=2+18·10-2+18·10-4+…=2+18·10-21-10-2=2+1899=2+211=2411

После перевода можем легко записать обратное число для дроби 2411. Этим числом, очевидно, будет 1124.

Для бесконечной и непериодической десятичной дроби обратное число записывается в виде дроби и единицей в числителе и самой дробью в знаменателе. Например, для бесконечной дроби 3,6025635789… обратное число будет иметь вид 13,6025635789….

Аналогично и для иррациональных чисел, отвечающим непериодическим бесконечным дробям, обратные числа записываются в виде дробных выражений.

К примеру, обратным числом для π+3380 будет 80π+33, а для числа 8+е2+е обратным числом будет дробь 18+е2+е.

Взаимно обратные числа с корнями

Если вид двух чисел отличен от a и 1a, то не всегда можно легко определить, являются ли числа взаимно обратными. Это особенно актуально для чисел, которые имеют в своей записи знак корня, так как от корня обычно принято избавляться в знаменателе. 

Обратимся к практике.

Пример. Взаимно обратные числа с корнями

Ответим на вопрос: являются ли взаимно обратными числа 4-23 и 1+32.

Чтобы узнать, являются ли числа взаимно обратными, вычислим их произведение.

4-23·1+32=4-23+23-3=1

Произведение равно единице, значит, числа взаимно обратны.

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Взаимно обратные числа с корнями

Запишите число, обратное числу 53+1.

Сразу можно записать, что обратное число равно дроби 153+1. Однако, как мы уже говорили, принято избавляться от корня в знаменателе. Чтобы сделать это умножим числитель и знаменатель на 253-53+1. Получим:

153+1=253-53+153+1·253-53+1=253-53+1533+13=253-53+16

Взаимно обратные числа со степенями

Допустим, есть число, равное какой-то степени числа a. Другими словами, число a, возведенное в степень n. Обратным числу an будет число  a-n. Проверим это. Действительно: an·a-n=an1·1an=1.

Пример. Взаимно обратные числа со степенями

Найдем обратное число для 5-3+4.

Согласно написанному выше, искомое число равно 5–3+4=53-4

Взаимно обратные числа с логарифмами

Для логарифма числа a по основанию b обратным является число, равное логарифму числа b по основанию a. 

logab и logba – взаимно обратные числа.

Проверим это. Из свойств логарифма следует, что logab=1logba, значит logab·logba.

Пример. Взаимно обратные числа с логарифмами

Найти число, обратное log35-23.

Числом, обратным логарифму числа 3 по основанию 35-2 будет логарифм числа 35-2 по основанию 3.

Число, обратное комплексному числу

Как уже отмечалось ранее, определение взаимно обратных чисел справедливо не только для действительных чисел, но и для комплексных. 

Обычно комплексные числа представляют в алгебраическом виде z=x+iy. Числом, обратным данному, будет дробь 

1x+iy.  Для удобства можно сократить это выражение, умножив числитель и знаменатель на x-iy.

Пример. Число, обратное комплексному числу

Пусть есть комплексное число z=4+i. Найдем число, обратное ему.

Число, обратное z=4+i, будет равно 14+i.

Умножим числитель и знаменатель на 4-i и получим:

14+i=4-i4+i4-i=4-i42-i2=4-i16-(-1)=4-i17.

Помимо алгебраической формы, комплексное число может быть представлено в тригонометрической или показательной форме следующим образом:

z=r·cosφ+i·sinφ

z=r·ei·φ

Соответственно, обратное число будет иметь вид:

1rcos(-φ)+i·sin(-φ)

или

1rei(-φ)

Убедимся в этом:

r·cosφ+i·sinφ·1rcos(-φ)+i·sin(-φ)=rrcos2φ+sin2φ=1r·ei·φ·1rei·(-φ)=rre0=1

Рассмотрим примеры с представлением комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.

Пример. Найти число, обратное комплексному числу

Найдем число, обратное для 23cosπ6+i·sinπ6.

Учитывая, что r=23, φ=π6, запишем обратное число

32cos-π6+i·sin-π6

Пример. Найти число, обратное комплексному числу

Какое число будет обратным для 2·ei·-2π5.

Ответ: 12·ei2π5

Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство

Существует теорема о сумме двух взаимно обратных чисел.

Сумма взаимно обратных чисел

Сумма двух положительных и взаимно обратных чисел всегда больше или равна 2.

Приведем доказательство теоремы. Как известно, для любых положительных чисел a и b среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. Это можно записать в виде неравенства:

a+b2≥a·b

Если вместо числа b взять число, обратное a, неравенство примет вид:

a+1a2≥a·1aa+1a≥2

Что и требовалось доказать.

Приведем практический пример, иллюстрирующий данное свойство.

Пример. Найти сумму взаимно обратных чисел

Вычислим сумму чисел 23 и обратного ему числу.

23+32=4+96=136=216

Как и говорит теорема, полученное число больше двух.

Источник: https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/vzaimno-obratnye-chisla/

Презентация к уроку математики по теме Взаимно обратные числа

Обратное числу 4 3. Обратное число

Слайд 1.

учитель:  Хозяинова Наталья Борисовна

 МБОУ «СОШ№1»г. Усинск Республика Коми 02.12.2014

Слайд 2  Девиз урока «Числа правят миром»   Пифагор

Слайд 3 Историческая минутка

Многие ученые во все времена занимались вопросами изучения обыкновенных дробей. Современное обозначение обыкновенных дробей было принято в Индии в VIII веке. Чертой для отделения числителя от знаменателя пользовались еще Герон Александрийский (I век) и Диофант (III век).

Сдайд 4 Задача.  Найдите площадь прямоугольника, если его стороны равны 

Слайд 5 Задача. Площадь прямоугольника 48 м2. Найдите его длину, если ширина прямоугольника

Слайд  6 Расшифруйте

  1. Найдите значение выражений

      2. Представьте число в виде обыкновенной дроби

Слайд 7. Тема урокаВзаимно обратные числа

Слайд 8 Цель урока:

  • Узнать какие числа называются взаимно обратными.
  • Научиться находить пары взаимно обратные числа.
  • Учиться анализировать и делать выводы.

Слайд 9. Найдите произведение и сравните с единицей:

Слайд 10 Действительно,                                      Число         обратно числу    

Слайд 11 ЗАПИШЕМ В ТЕТРАДЬ          обратно числу        , т.к.

Слайд   12.

будет ли число       обратным     числу

Да, т.к.

Число       обратно числу       так как их произведение равно единице            

Слайд 13ЗАПИШЕМ В ТЕТРА ДЬ

     обратно числу        , т.к.

Слайд 14

ЗАПИШЕМ В ТЕТРАДЬ         и              взаимно обратные

Слайд 15 Определение  Два числа, произведение которых равно единице , называют взаимно обратными.

Слайд 16 Найдите число обратное данному

Слайд 17  Найдите число обратное числу    

           так как                            

слайд 18 Как практически получить число обратное обыкновенной дроби?

Нужно числитель и знаменатель обыкновенной дроби поменять местами

Слайд 19 Как найти число обратное смешанному числу?

Чтобы найти число обратное смешанному числу, нужно представить его в виде неправильной дроби, а затем числитель и знаменатель обыкновенной дроби поменять местами

Слайд 20 Как найти число обратное десятичной дроби?

Чтобы найти число обратное десятичной дроби, нужно представить ее в виде обыкновенной дроби, а затем поменять местами числитель и знаменатель дроби

Слайд 21 Как найти число обратное натуральному?

Чтобы найти число обратное натуральному числу, нужно представить ее в виде неправильной обыкновенной дроби, а затем числитель и знаменатель обыкновенной дроби поменять местами

Слайд 22 Проверочная работа        Запишите числа, обратные данным

1 вариант                                    2 вариант

    И                                                    и

       И                                                и

       и                                                  и

Слайд 23   Критерий :«5» – верно выполнено 4 задания

« 4» – верно выполнено 3 задания        «3» – верно выполнено 2 задания    

  Слайд 24 рефлексия

Слайд 25 Домашнее задание: Выучить правило на стр 105

решить №453, №475

слайд 26 Спасибо за урок

урок математики в 6 классе

учитель: Хозяинова Наталья Борисовна

МБОУ «СОШ№1»г. Усинск Республика Коми 02.12.2014

Девиз урока

«Числа правят миром»

Пифагор

Историческая минутка

Многие ученые во все времена занимались вопросами изучения обыкновенных дробей. Современное обозначение обыкновенных дробей было принято в Индии в VIII веке. Чертой для отделения числителя от знаменателя пользовались еще Герон Александрийский (I век) и Диофант (III век).

Диофант

Герон Александрийский

Задача

Найдите площадь прямоугольника, если его стороны равны

Решение:

Ответ. 1 м 2

Задача

Площадь прямоугольника 48 м 2 . Найдите его длину, если ширина прямоугольника

S = 48 м 2

Решение:

Расшифруйте

1. Найдите значение выражений:

2. Представьте число в виде обыкновенной дроби

Тема урока

Взаимно обратные числа

Цель урока:

  • Узнать какие числа называются взаимно обратными.
  • Научиться находить пары взаимно обратные числа.
  • Учиться анализировать и делать выводы.

Найдите произведение и сравните с единицей:

Действительно,

Число обратно числу

ЗАПИШЕМ В ТЕТРАДЬ

обратно числу, т.к.

будет ли число обратным числу ?

Да, т.к.

Число обратно числу ,так как их произведение равно единице

ЗАПИШЕМ В ТЕТРАДЬ

обратно числу, т.к.

ЗАПИШЕМ В ТЕТРАДЬ

и взаимно обратные

Определение

Два числа, произведение которых равно единице , называют взаимно обратными.

Найдите число обратное данному

Найдите число обратное числу

так как

Как практически получить число обратное обыкновенной дроби?

Нужно числитель и

знаменатель обыкновенной дроби поменять местами

Как найти число обратное смешанному числу?

Чтобы найти число обратное смешанному числу, нужно представить его в виде неправильной дроби, а затем числитель и знаменатель обыкновенной дроби поменять местами

Как найти число обратное десятичной дроби?

Чтобы найти число обратное десятичной дроби, нужно представить ее в виде обыкновенной дроби, а затем поменять местами числитель и знаменатель дроби

Как найти число обратное натуральному?

Чтобы найти число обратное натуральному числу, нужно представить ее в виде неправильной обыкновенной дроби, а затем числитель и знаменатель обыкновенной дроби поменять местами

Существует ли:

число обратное самому себе?

число, которое не имеет себе обратного?

Проверочная работа

Запишите числа, обратные данным

1 вариант 2 вариант

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

И

И

И

И

И

И

И

И

Критерий :

«5» – верно выполнено 4 задания

« 4» – верно выполнено 3 задания

«3» – верно выполнено 2 задания

Выставите отметки.

рефлексия

Домашнее задание:

Выучить правило на стр 105

решить №453, №475

Спасибо за урок

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/presentacii/priezientatsiia-k-uroku-matiematiki-po-tiemie-vzaimno-obratnyie-chisla

Урок по математике 6 класс «Взаимно обратные числа»

Обратное числу 4 3. Обратное число

Урок по математике 6 класс «Взаимно обратные числа»

Здравствуйте, дети! Сегодня у нас, как вы уже заметили, необычный урок. Сегодня к нам на урок пришли гости, давайте поприветствуем их! (дети приветствуют гостей). А теперь садитесь за свои рабочие места, и начнем урок (слайд 1)

Математика повсюду

Глазом только поведешь

И примеров сразу уйму

Ты вокруг себя найдешь.

Каждый день, вставая бодро,

Начинаешь уж решать –

Идти тихо или быстро,

Чтобы в класс не опоздать.

  1. Сообщение темы и целей урока (слайд 2-3)

Тема урока у нас сегодня «Взаимно обратные числа». На уроке мы с вами продолжим:

  • отрабатывать навыки нахождения чисел, обратных данным;
  • отрабатывать умения решать уравнения нового типа;
  • формировать навыки умножения дробей.

Сначала давайте с вами вспомним материал прошлого урока.

Найдите произведение дробей:

  • Что общего в этих примерах? (произведение дробей равно 1) (слайд 5)

a * b = 1

  • Как называются эти числа? (взаимно обратные)
  • Дайте определение взаимно обратных чисел (Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными)
  1. Назовите число, обратное данному

  1. Вычислите устно (слайд 11):

Каким правилом будем пользоваться при решении этих примеров (если число хсначала умножить на некоторое число а, а потом умножить на число обратное а, то получим опять число х)

  1. Выполнение упражнений (слайд 12)

Будут ли взаимно обратными числа:

г) 2,5 и 0,4

д)

е) 0 и 1

2. №579

Найдите значение выражения:

а)

б)

в)

3. №580 (а, в, д)

Решите уравнение:

а)

в) 0,8а = 1

д)

4. №588

За три дня турист прошел 40 км. В первый день он прошел 40%, а во второй день – 30% всего пути. Сколько километров прошел турист в третий день?

  • Прочитайте задачу.
  • Что известно? Что надо узнать?
  • Запишите краткую запись задачи.

1 способ

  1. 40% = 0,4; 30% = 0,3

  2. 40 * 0,4 = 16 (км) – турист прошел в 1 день

  3. 40 * 0,3 = 12 (км) – турист прошел во 2 день

  4. 40 – (16 + 12) = 12 (км) – турист прошел в 3 день

2 способ

  1. 100% – (40% + 30%) = 30% – турист прошел в 3 день

  2. 30% = 0,3

  3. 40 * 0,3 = 12 (км) – турист прошел в 3 день

(Ответ: 12 км)

  1. Физкультминутка (слайд 13)

Раз – подняться на носки и улыбнуться,

Два – руки вверх и подтянуться,

Три – согнуться, разогнуться,

Четыре – снова всё начать.

Пять – на пояс руки ставим,

Шесть – повороты туловища начинаем,

Семь – по глубже всем вздохнуть.

Восемь – мы разок присядем,

Девять – урок наш продолжаем.

  1. Самостоятельная работа (слайд 14 – 15)

Найдите число, обратное:

Вариант 1

а) числу 0,0125

б) сумме

в) произведению

Вариант 2

а) числу 0,025

б) сумме

в) произведению

  1. Выполнение компьютерного практикума

Работа за компьютерами в парах

  1. Подведение итогов урока (слайд 16)

  1. Какие числа называют взаимно обратными?

  1. Как записать число, обратное дроби ?

  1. Как записать число, обратное натуральному числу?

  2. Как записать число, обратное смешанному числу?

9. Домашнее задание (слайд 17)

П.16 № 591(а), № 592(г – д), №594, № 595(б)

ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ НА ДАННОМ УРОКЕ ЭОР

Название ресурса

Тип, вид ресурса

Форма предъявления информации (иллюстрация, презентация, видеофрагменты, тест, модель и т.д.)

Гиперссылка на ресурс, обеспечивающий доступ к ЭОР

Взаимно обратные числа

Практический

Презентация

http://school-collection.edu.ru/catalog/res/eae6cc82-1aa2-4945-b2e8-ad381c919690/?interface=pupil&class=48&subject=16)

Нахождение числа, обратного данной дроби

Контрольный

Тест

http://fcior.edu.ru/card/2326/nahozhdenie-chisla-obratnogo-dannoy-drobi-k2.html

Источник: https://infourok.ru/urok-po-matematike-klass-vzaimno-obratnie-chisla-972857.html

Взаимно обратные числа, нахождение числа, обратного данному числу

Обратное числу 4 3. Обратное число
Числа, действия с числами

Сейчас мы тщательно изучим взаимно обратные числа. Сначала дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел.

Дальше на примерах разберем, как находится число, обратное данному числу. В частности, найдем число, обратное обыкновенной дроби, число, обратное натуральному числу, и т.п.

В заключение приведем и докажем неравенство, характерное для суммы взаимно обратных чисел.

Взаимно обратные числа, определение, примеры

Сразу дадим определение взаимно обратных чисел.

Взаимно обратные числа – это два числа, произведение которых равно 1.

Если числа a и b взаимно обратные, то можно сказать, что число a – это число, обратное числу b, а число b – это число, обратное числу a. Также можно говорить, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a.

Приведем примеры взаимно обратных чисел. Так как произведение 1·1 равно 1, то по определению числа 1 и 1 – взаимно обратные.

Взаимно обратными числами также являются следующие пары чисел: 2 и 1/2, −5/7 и −7/5, и , и , и , и . Действительно, произведение любой пары чисел из указанных выше равно единице.

А числа 5/9 и 3, или числа 1,1 и 5 не являются взаимно обратными, так как их произведение отлично от 1.

Из рассмотренных примеров взаимно обратных чисел понятно, что определение взаимно обратных чисел относится к любым числам – и к натуральным, и к целым и к действительным, и даже к комплексным.

К началу страницы

Особый интерес представляет нахождение числа, обратного данному числу. В общем случае число, обратное отличному от нуля числу a, записывается в виде дробного выражения 1/a или как a-1, так как и a·a-1=1. Однако в некоторых случаях 1/a подлежит сокращению.

Иногда число, обратное данному числу, очевидно, как, например, для натуральных чисел или обыкновенных дробей. В других случаях приходится проводить вычисления, как, например, при отыскании числа, обратного иррациональному числу, или обратного комплексному числу.

Остановимся на наиболее часто встречающихся случаях нахождения числа, обратного данному числу.

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.