Площадь пятиугольной призмы формула. Призма

Содержание

Урок «Объем призмы»

Площадь пятиугольной призмы формула. Призма
Бесплатно

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Вспомним определение призмы.

ПРИЗМА — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а другие грани (боковые) — параллелограммы.

Призма называется прямой, когда боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям.

Прямая призма называется правильной, если в ее основания лежат правильные многоугольники.

Боковые грани призмы — параллелограммы.

Докажем теорему.

Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

V =   • h.

Сначала докажем теорему для треугольной призмы, а затем – для произвольной.

Дано: прямая призма

Доказать: V = Sосн • h.

Доказательство:

1. ВСDB1C1D1— прямая призма. AC  BD (выберем высоту, которая делит ΔBCD на два треугольника) проведем плоскость (CAA1)   (BCD), получим две призмы, основания которых — прямоугольные треугольники. Тогда V1 – это объем призмы BCAB1C1A1  и равен SBCA•h

V2 – объем призмы ACDA1C1D1 и равен SACD•h

Тогда объем призмы  ВСDB1C1D1  будет равен сумме объемов призмы BCAB1C1A1 и ACDA1C1D1,  следовательно,  V= SBCA•h+ SACD•h вынесем за скобки общий множитель и получим, что объем призмы будет равен h (SBCA + SACD)

А так как сумма площадей треугольников BCA  и  ACD равна площади треугольника BCD, тогда объем призмы будет равен произведению высоты на площадь основания  BCD. Что и требовалось доказать.

2. Рассмотрим n-угольную произвольную призму с площадью основания S, ее можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h.

Следовательно, V1, V2, V3,…,Vn–2 – объемы треугольных призм,

S1, S2, S3,…,Sn–2 – площади оснований треугольных призм.

Значит, объём n-угольной призмы будет равен сумме объёмов всех треугольных призм.

Отсюда следует, что объём будет равен произведению высоты призмы на сумму площадей оснований треугольных призм.

Данную выпуклую пятиугольную призму можно разбить на три прямые треугольные призмы. Найдем объем каждой призмы и сложим эти объемы.

Вынесем за скобки общий множитель h, получим, что объем пятиугольной призмы будет равен произведению высоты на сумму площадей оснований треугольных призм.

Сумма площадей оснований треугольных призм равна площади основания данной призмы, значит, объем данной призмы равен произведению высоты на основание.

Теорема доказана.

Решение задач

Задача 1

Найдите объем правильной n-угольной призмы, у которой каждое ребро равно a, если а) n=3; б) n=4; в) n=6.г) n=8

Дано:

Правильная n-угольная призма,

а-ребро призмы.

Найти V-?

Решение:

Так как каждое ребро равно а по условию, то и высота призмы h в прямой призме, являющаяся ребром призмы, также равна a

а) n=3

Объем призмы находится по формуле:

V =   • h

Основанием правильной n-угольной призмы, при n=3, является правильный треугольник, площадь которого находится по формуле  .

Тогда объем равен 

б) n=4, то есть в основании лежит четырёхугольник, и так как призма правильная, то он является квадратом, а по условию все ребра призмы равны, значит, правильная четырехугольная призма — это куб,  поэтому V=

в) n=6. Объем правильной шестиугольной призмы ищем по формуле:

V =   • h

Площадь основания ищем по формуле:

 (это и есть формула, так как в основании правильный шестиугольник, то его площадь можно выразить только через сторону а).

V=

г) n=8. Объем правильной восьмиугольной призмы ищем по формуле:

V =   • h

Площадь основания ищем по формуле:

  (это и есть формула, так как в основании правильный восьмиугольник, то его площадь можно выразить только через сторону а).

V=

Ответ: a) V =  ; б) V =  ;

в) V = 1,5  •  ; г) V = (2+2 ) •  .

Задача 2

В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол 60  с плоскостью основания. Найти объем призмы, если сторона равна а.

Дано:

Правильная треугольная призма со

стороной а.

Проведено сечение АВС1

Найти:  V-?

Решение:

Построим СК АВ, отрезок С1К в плоскости сечения АС1В. По теореме о трех перпендикулярах –

С1К АВ;  С1КС=60°.

Из ΔС1КС:   (отношение сторон треугольника — СС1 к СК равно тангенсу 60 градусов и равно корню квадратному из трех)

Отсюда 

Рассмотрим треугольник ΔСКВ, он прямоугольный так как СК высота проведенная в точку К, тогда по определению синуса острого угла прямоугольного треугольника имеем  = sin ∠СBК, угол СВК равен 60 градусам, так как треугольник в основании правильный, значит, все его углы равны.

CK=ВС sin60°, так как ВС=а, а синус 60 градусов равен  , то  ,

Затем подставляем значение СК в формулу СС1, получаем

А площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

 Находим объем призмы:

 V =   • h= 

Источник: https://urokimatematiki.ru/urok-obem-prizmi-1009.html

Правильная четырехугольная призма

Площадь пятиугольной призмы формула. Призма

Развернуть структуру обучения

структуру обучения

Определение.

Правильная четырехугольная призма – это шестигранник, основаниями которого являются два равных квадрата, а боковые грани представляют собой равные прямоугольники

Боковое ребро – это общая сторона двух смежных боковых граней

Высота призмы – это отрезок, перпендикулярный основаниям призмы

Диагональ призмы – отрезок, соединяющий две вершины оснований, которые не принадлежат к одной грани

Диагональная плоскость – плоскость, которая проходит через диагональ призмы и ее боковые ребра

Диагональное сечение – границы пересечения призмы и диагональной плоскости. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник

Перпендикулярное сечение (ортогональное сечение) – это пересечение призмы и плоскости, проведенной перпендикулярно ее боковым ребрам

На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:

  • Основания ABCD и A1B1C1D1 равны и параллельны друг другу
  • Боковые грани AA1D1D, AA1B1B, BB1C1C и CC1D1D, каждая из которых является прямоугольником
  • Боковая поверхность – сумма площадей всех боковых граней призмы
  • Полная поверхность – сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
  • Боковые ребра AA1, BB1, CC1 и DD1.
  • Диагональ B1D
  • Диагональ основания  BD
  • Диагональное сечение BB1D1D
  • Перпендикулярное сечение A2B2C2D2 .
  • Основаниями являются два равных квадрата
  • Основания параллельны друг другу
  • Боковыми гранями являются прямоугольники
  • Боковые грани равны между собой
  • Боковые грани перпендикулярны основаниям
  • Боковые ребра параллельны между собой и равны
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям
  • Углы перпендикулярного сечения – прямые
  • Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
  • Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям

При решении задач на тему “правильная четырехугольная призма” подразумевается, что:

Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат. (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы)

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия –  призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет – пишите об этом в форумеДля обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .    В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

Решение.

Правильный четырехугольник – это квадрат.

Соответственно, сторона основания будет равна

√144 = 12 см. Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна √( 122 + 122 ) = √288 = 12√2 Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:

√( ( 12√2 )2 + 142 ) = 22 см

Ответ: 22 см

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.

Решение.

Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:

a2 + a2 = 52

2a2 = 25 a = √12,5 Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:

h2 + 12,5 = 42

h2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5 h = √3,5 Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания

S = 2a2 + 4ah

S = 25 + 4√12,5 * √3,5 S = 25 + 4√43,75 S = 25 + 4√(175/4) S = 25 + 4√(7*25/4)

S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см2 .

Ответ: 25 + 10√7 ≈ 51,46 см2 .

15306.1214  

 Прямая призма | Описание курса | Диагональное сечение правильной призмы 

Источник: https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson201/

Геометрические фигуры. Призма. Объем призмы

Площадь пятиугольной призмы формула. Призма

Геометрия 6,7,8,9,10,11 класс, ЕГЭ, ГИА

    Распечатать

Призма — многогранник, 2 грани это конгруэнтные (равные) многоугольники, которые лежат впараллельных плоскостях, а оставшиеся грани — параллелограммы, имеющие общие стороны сэтими многоугольниками. Либо (что тоже самое) — это многогранник, основаниями которогоявляются равные многоугольники, а боковыми гранями — параллелограммы.Призма является разновидностью цилиндра.Элементы призмы.
Основания (ABCDE, KLMNP) – 2 грани, являющиесяконгруэнтными многоугольниками, которые лежатв плоскостях, параллельных друг другу.Боковые грани (ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP) – каждаяиз граней, не считая оснований. Все боковые грани – этопараллелограммы.Боковая поверхность – сумма боковых граней.Полная поверхность – сумма основания и боковойповерхности.Боковые ребра (AK, BL, CM, DN, EP) – общие стороныбоковых граней.
Высота (KR) – отрезок, который соединяет плоскости, в них лежат основания призмы. Онперпендикулярен этим плоскостям.Диагональ (BP) – отрезок, который соединяет 2 вершины призмы, которые не принадлежат однойграни.Диагональная плоскость – плоскость, которая проходит через боковое ребро призмы, а такжедиагональ основания.Диагональное сечение (EBLP) – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении получаетсяпараллелограмм, либо — ромб, прямоугольник, квадрат.Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярнойбоковому ребру призмы.Свойства призмы.

  • Основания призмы – это равные многоугольники.
  • Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
  • Боковые ребра призмы параллельные и равны.

площади основания.

  • Площадь боковой поверхности произвольной призмы:

S=P*l,где P — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра.

  • Площадь боковой поверхности прямой призмы:

S=P*h,где P — периметр основания призмы, h — высота призмы.

  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым рёбрам призмы.
  • Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих

боковых рёбрах.

  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым граням.
  • Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.
Формула объема призмы:V = Sohгде V – объем призмы,So – площадь основания призмы,h – высота призмы.
Привальная четырехугольная пирамида.        Свойства правильной четырехугольной призмы.

  • Основания правильной четырехугольной призмы – это 2 одинаковых квадрата;
  • Верхнее и нижнее основания параллельны;
  • Боковые грани имеют вид прямоугольников;
  • Все боковые грани равны между собой;
  • Боковые грани перпендикулярны основаниям;
  • Боковые ребра параллельны между собой и равны;
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям;
  • Углы перпендикулярного сечения – прямые;
  • Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы является прямоугольником;
  • Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям.

Формулы для правильной четырехугольной призмы.Виды призм.Призма, у которой в основании лежит параллелограмм, является параллелепипедом.Прямая призма — это призма, с перпендикулярными боковыми ребрами относительно плоскости основания.Остальные призмы являются наклонными.Правильная призма — прямая призма, в основании у нее лежит правильный многоугольник. Боковыеграни такой призмы — одинаковые прямоугольники.Правильная призма, у которой боковые грани – квадраты (высота равна стороне основания), называетсяполуправильным многогранником.

Дополнительные материалы по теме: Геометрические фигуры. Призма. Объем призмы

Источник: https://www.calc.ru/Geometricheskiye-Figury-Prizma-Obyem-Prizmy.html

Призма

Площадь пятиугольной призмы формула. Призма

Министерствообразования и науки АО

ГБОУАО СПО «Астраханский государственныйполитехнический колледж»

Призма

Выполнили:студенты группы ТП 181

УвалиевН.

ПлехановА.

БганС.

Астрахань2016

Оглавление

Введение

Свойствапризмы

Видыпризм

Оразвитии геометрии в Древней Греции доЕвклида

Элементыпризмы

Свойстваправильной четырехугольной призмы

Формулыдля правильной четырехугольной призмы

Призмав оптике

Измерениеобъемов

Задачи

Введение

Призма— многогранник, две грани которогоявляются конгруэнтными (равными)многоугольниками, лежащими в параллельныхплоскостях, а остальные грани —параллелограммами, имеющими общиестороны с этими многоугольниками. Этипараллелограммы называются боковымигранями призмы, а оставшиеся двамногоугольника называются её основаниями.

Призмаявляетсяразновидностьюцилиндра.

Свойствапризмы

Основанияпризмы являются равными многоугольниками.

Боковыеграни призмы являются параллелограммами.

Боковыеребра призмы параллельны и равны.

Объёмпризмы равен произведению её высоты наплощадь основания:

V=S⋅h

Площадьполной поверхности призмы равна суммеплощади её боковой поверхности иудвоенной площади основания.

Площадьбоковой поверхности произвольнойпризмы:

S=P⋅l

гдеP — периметр перпендикулярного сечения,l — длина бокового ребра.

Площадьбоковой поверхности прямой призмы:

S=P⋅h

гдеP — периметр основания призмы, h — высотапризмы.

Перпендикулярноесечение перпендикулярно ко всем боковымрёбрам призмы.

Углыперпендикулярного сечения — это линейныеуглы двугранных углов при соответствующихбоковых рёбрах.

Перпендикулярноесечение перпендикулярно ко всем боковымграням.

Видыпризм

призмаоптика грань ребро

Призма,основанием которой является параллелограмм,называется параллелепипедом.

Прямаяпризма — это призма, у которой боковыеребра перпендикулярны плоскостиоснования. Другие призмы называютсянаклонными.

Правильнаяпризма — это прямая призма, основаниемкоторой является правильный многоугольник.Боковые грани правильной призмы —равные прямоугольники.

Правильнаяпризма, боковые грани которой являютсяквадратами (высота которой равна сторонеоснования), является полуправильныммногогранником.

Оразвитии геометрии в Древней Греции доЕвклида

Ученыеи философы Древней Греции воспринялии переработали достижения культуры инауки Древнего Востока. Фалес, Пифагор,Демокрит, Евдокс и др. ездили в Египети Вавилон для изучения музыки, математикии астрономии. Не случайно зачаткигреческой геометрической науки связаныс именем Фалеса Милетского, основателяионийской школы.

Ионийцы, населявшиетерриторию, которая граничила с восточнымистранами, первыми заимствовали знанияВостока и стали их развивать. Ученыеионийской школы впервые подверглилогической обработке и систематизировалиматематические сведения, позаимствованныеу древневосточных народов, в особенностиу вавилонян.

Фалесу, главе этой школы,Прокл и другие историки приписываютнемало геометрических открытий. Оботношении Пифагора Самосского к геометрииПрокл пишет в своем комментарии к“Началам” Евклида следующее: “Онизучал эту науку (т. е. геометрию), исходяот первых ее оснований, и старалсяполучать теоремы при помощи чистологического мышления”.

Прокл приписываетПифагору, кроме известной теоремы оквадрате гипотенузы, еще построениепяти правильных многогранников:

1)тетраэдр, имеющий 4 грани, 4 вершины, 6ребер ;

2)куб – 6 граней, 8 вершин, 12 ребер;

3)октаэдр – 8 граней, 6 вершин, 12 ребер;

4)додекаэдр – 12 граней, 20 вершин, 30 ребер;

5)икосаэдр – 20 граней, 12 вершин, 30 ребер.

Гранидодекаэдра являются правильнымипятиугольниками. Диагонали же правильногопятиугольника образуют так называемыйзвездчатый пятиугольник – фигуру, котораяслужила эмблемой, опознавательнымзнаком для учеников Пифагора.

Известно,что пифагорейский союз был одновременнофилософской школой, политической партиейи религиозным братством. Согласнолегенде, один пифагореец заболел начужбине и не мог перед смертью расплатитьсяс ухаживавшим за ним хозяином дома.Последний нарисовал на стене своегодома звездчатый пятиугольник.

Увидавчерез несколько лет этот знак, другойстранствующий пифагореец осведомилсяо случившемся у хозяина и щедро еговознаградил.

Достоверныхсведений о жизни и научной деятельностиПифагора не сохранилось. Ему приписываетсясоздание учения о подобии фигур. Он,вероятно, был среди первых ученых,рассматривавших геометрию не какпрактическую и прикладную дисциплину,а как абстрактную логическую науку.

Вшколе Пифагора было открыто существованиенесоизмеримых величин, т. е. таких,отношение между которыми невозможновыразить никаким целым или дробнымчислом.

Примером может служить отношениедлины диагонали квадрата к длине егостороны, равное ?2. Число это не являетсярациональным (т. е. целым или отношениемдвух целых чисел) и называетсяиррациональным, т.е.

нерациональным (отлатинского ratio – отношение).

Пифагорейцыне знали других чисел, кроме рациональных.Построив диагональ квадрата, сторонакоторого равна 1, они констатировали,что она не может быть выражена никакимчислом, так как для них не было другихчисел, кроме целых и дробных. Этот фактпривел в большое смущение пифагорейцев,так как в основе их философии лежалопонятие о числе как основе всех вещейи явлений природы.

Новот эта великая основа – число – не всостоянии выразить длины простогоотрезка в простой фигуре – диагоналиквадрата. Вот почему открытие несоизмеримыхвеличин явилось большим ударом по учениюПифагора и пифагорейцы долго его держалив строгой тайне. Согласно преданию,ученик Пифагора, раскрывший публичноэту тайну, был наказан богами и погибво время кораблекрушения.

Открытиенесоизмеримых величин было важнымповоротным пунктом в развитии античнойматематики. Узнав, что существуютотношения величин, не выражаемые никакимирациональными числами, древнегреческиеученые стали представлять величины неарифметически, а геометрически, нечислами, а отрезками. Таким образом,возникла геометрическая алгебра, апотом и теория отношений Евдокса.

Евклид,древнегреческий математик и основоположникэлементарной геометрии, дал такоеопределение призмы – телесная фигура,заключенная между двумя равными ипараллельными плоскостями (основаниями)и с боковыми гранями – параллелограммами.

В античной математике еще не было понятияограниченной части плоскости, котороеученый подразумевал под словом «телеснаяфигура». Таким образом, призма, такжекак и любая другая геометрическаяфигура, не является пустой.

Несколькоосновных определений:

• боковаяповерхность – совокупность всех боковыхграней.

• полнаяповерхность – совокупность всех граней(оснований и боковой поверхности);

высота– отрезок, перпендикулярный основаниямпризмы и соединяющий их;

диагональ– отрезок, соединяющий две вершиныпризмы, которые не принадлежат однойграни;

диагональнаяплоскость– это плоскость, проходящая черездиагональ основания призмы и ее боковоеребро;

диагональноесечение– параллелограмм, который получаетсяпри пересечении призмы и диагональнойплоскости.

Частныеслучаи диагонального сечения:прямоугольник, квадрат, ромб;

перпендикулярноесечение– плоскость, проходящая перпендикулярнобоковым ребрам. Основные свойствапризмы:

основанияпризмы– параллельные и равные многоугольники;

боковыеграни призмы– всегда параллелограммы;

боковыеребра призмы параллельны друг другу иимеют равную длину. Различают прямую,наклонную и правильную призму:

• упрямой призмы все боковые ребраперпендикулярны основанию; • у наклоннойпризмы боковые ребра неперпендикулярныоснованию;

• правильнаяпризма – многогранник с правильнымимногоугольниками в основаниях, а боковыеребра перпендикулярны основаниям.Правильная призма является прямой.

Основныечисловые характеристики призмы:

• объемпризмы равен произведению площадиоснования на высоту; • площадь боковойповерхности – произведение периметраперпендикулярного сечения на длинубокового ребра;

• площадьполной поверхности призмы – сумма всехплощадей ее боковых граней и площадиоснования, умноженной на два.

Элементыпризмы

Основания– 2 грани, являющиеся конгруэнтнымимногоугольниками, которые лежат вплоскостях, параллельных друг другу.

Боковыеграни– каждая из граней, не считая оснований.Все боковые грани – это параллелограммы.

Боковаяповерхность– сумма боковых граней.

Полнаяповерхность– сумма основания и боковой поверхности.

Боковыеребра– общие стороны боковых граней.

Высота– отрезок, который соединяет плоскости,в них лежат основания призмы. Онперпендикулярен этим плоскостям.

Диагональ– отрезок, который соединяет 2 вершиныпризмы, которые не принадлежат однойграни.

Диагональнаяплоскость– плоскость, которая проходит черезбоковое ребро призмы, а также диагональоснования.

Диагональноесечение– пересечение призмы и диагональнойплоскости. В сечении получаетсяпараллелограмм, либо — ромб, прямоугольник,квадрат.

Перпендикулярное(ортогональное) сечение– пересечение призмы и плоскости,перпендикулярной боковому ребру призмы.

Разверткапризмы– представление всех граней призмы наодной плоскости без искажения размеровграней.

Свойстваправильной четырехугольной призмы.

Основанияправильной четырехугольной призмы– это 2 одинаковых квадрата;

Верхнееи нижнее основания параллельны;

Боковыеграни имеют вид прямоугольников;

Всебоковые грани равны между собой;

Боковыеграни перпендикулярны основаниям;

Боковыеребра параллельны между собой и равны;

Перпендикулярноесечение перпендикулярно всем боковымребрам и параллельно основаниям;

Углыперпендикулярного сечения – прямые;

Диагональноесечение правильной четырехугольнойпризмы является прямоугольником;

Перпендикулярное(ортогональное сечение) параллельнооснованиям.

Формулыдля правильной четырехугольной призмы

V=Sоснh= a2h

Sбок=Pl=4al

Sбок=Ph=4ah

Sбок.сечения=ah√2=al√2

Sперп.сечения=a2

Призмав оптике

Воптике призмой называют объект в формегеометрического тела (призмы), выполненныйиз прозрачного материала. Свойствапризм широко используются в оптике, вчастности, в биноклях. В призматическихбиноклях применяются двойная призмаПорро и призма Аббе, названные так вчесть своих изобретателей. Эти призмыза счет особой структуры и расположениясоздают тот или иной оптический эффект.

ПризмаПорро – это призма, в основании которойлежит равнобедренный треугольник.Двойная призма Порро создается благодаряособому расположению в пространстведвух призм Порро. Двойная призма Порропозволяет переворачивать изображение,увеличивать оптическое расстояниемежду объективом и окуляром, сохраняявнешние габариты.

ПризмаАббе – это призма, в основании которойлежит треугольник с углами – 30о,60о,90о.призма Аббе используется, когда необходимоперевернуть изображение без отклонениялинии взгляда на объект.

Измерениеобъемов

Объемызерновых амбаров и других сооруженийв виде кубов, призм и цилиндровегиптяне и вавилоняне, китайцы и индийцывычисляли путем умножения площадиоснования на высоту.

Однако древнемуВостоку были известны в основном толькоотдельные правила, найденные опытнымпутем, которыми пользовались длянахождения объемов для площадей фигур.

В более позднее время, когда геометриясформировалась как наука, был найденобщий подход к вычислению объемовмногогранников.

Средизамечательных греческих ученых V – IV вв.до н.э., которые разрабатывали теориюобъемов, были Демокрит из Абдеры и ЕвдоксКнидский. Евклид не применяет термина“объем”. Для него термин “куб”,например, означает и объем куба. В ХIкниге “Начал” изложены среди другихи теоремы следующего содержания.

1.Параллелепипедыс одинаковыми высотами и равновеликимиоснованиями равновелики.

2.Отношениеобъемов двух параллелепипедов с равнымивысотами равно отношению площадей ихоснований.

3.Вравновеликих параллелепипедах площадиоснований обратно пропорциональнывысотам.

ТеоремыЕвклида относятся только к сравнениюобъемов, так как непосредственноевычисление объемов тел Евклид, вероятно,считал делом практических руководствпо геометрии. В произведениях прикладногохарактера Герона Александрийскогоимеются правила для вычислений объемакуба, призмы, параллелепипеда и другихпространственных фигур.

Задачи

Задача1. Нахождениеплощади поверхности призмы

Боковоеребро наклонной четырехугольной призмыравно 12 см. Перпендикулярным сечениемявляется ромб со стороной 5 см. Найтиплощадь боковой поверхности.

Дано:призма ABCDA1B1C1D1;

АА1= 12см;

перпендикулярноесечение – ромб со

стороной5 см.

Найти:Sбок

Решение:

Мыдоказали, что площадь боковой поверхностинаклонной призмы равна произведениюпериметра перпендикулярного сеченияна боковое ребро.

Поусловию, перпендикулярным сечениемявляется ромб со стороной 5 см. Всестороны ромба равны. Значит, периметрперпендикулярного сечения равен:

см.

Теперьвычислим площадь боковой поверхности:

(см2).

Ответ:240 см2.

Задача2. Нахождениеобъема призмы

Найтиобъем прямой треугольной призмы ,если ;;,а наибольшая из площадей боковых гранейравна .

Дано:призма;

АА1= 12см;

=.

Найти:объем

Решение:

Длянахождения объема нужно найти площадьоснования и высоту. Площадь основанияищется сразу

Дальшезаметим, что площадь каждой боковойграни равна произведению стороныоснования на высоту.

Значит,наибольшая площадь будет, когда сторонаоснования наибольшая. Очевидно, этосторона ,которая лежит против тупого угла.

Найдемее по теореме косинусов:

Атогда высота призмы равна:

Окончательно,

Ответ:

Источник: https://studfile.net/preview/8122925/

Призма. Все что нужно знать для подготовки к ЕГЭ по математике

Площадь пятиугольной призмы формула. Призма



Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Привет!

Сейчас я расскажу тебе ВСЕ о призме. Без воды. Только то, что нужно.

Помни о своей цели! Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Это самый лучший материал в инете.

Не веришь?

Посмотри отзывы внизу статьи и ты все поймешь… И, кстати, можешь оставить свои.

Ладно, хватит болтать – к делу!

формула объема призмы Необычная формула объёма призмы Объем правильной треугольной призмы Объем правильной четырёхугольной призмы Объем правильной шестиугольной призмы Площадь поверхности призмы А здесь ты можешь скачать весь текст в pdf формате. ПРИЗМА. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Теперь я хочу услышать тебя!

Определение призмы

  • Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Виды призм

  • Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
  • Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
  • Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

Объем и площадь призмы

формула объема призмы:

 ,

где   — площадь основания,

  — высота.

 

Необычная формула объема призмы:

 ,

где   – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

  – длина бокового ребра.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

А теперь подробнее….

Что такое призма

Давай ответим сперва картинками:

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями. Остальные грани называются боковыми.

Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Рисуем ещё раз:

А теперь: рёбра.

Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Важно знать, что:

Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.
  • Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то – четырёхугольной и так далее.
  • Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но , к счастью, не в твоих задачах.
  • А у тебя будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

Согласен?

Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

У прямой призмы:

  • все боковые грани прямоугольники;
  • все сечения проходящие через боковые рёбра – прямоугольники;
  • и даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро – прямоугольники.
У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.

Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Тебе, скорее всего, может встретиться:

1) Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

2) Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

3) Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

формула объема призмы

  –площадь основания

  – высота

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то   «превращается» в боковое ребро. И тогда

– то же самое, что

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

  – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

  – длина бокового ребра.

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Объем правильной треугольной призмы

Пусть дано, что сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

Найдём объём:

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника

Подставляем в формулу объёма:

 .

Объем правильной четырёхугольной призмы

Опять дано: сторона основания равна  , боковое ребро равно  .

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

Значит,  .

Объем правильной шестиугольной призмы

Что же такое  ? Как найти?

Смотри: шестиугольник   состоит из шести одинаковых правильных треугольников.

Значит:  

Ну и теперь  .

Площадь поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

Есть ли общая формула?

 

Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

Формулу можно написать для прямой призмы:

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы.

 , где   – периметр основания.

 .

Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

Все боковые грани – прямоугольники. Значит  .

  – это уже выводили при подсчёте объёма.

Итак, получаем:

 .

ПРИЗМА. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. Определение

  • Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

2. Виды призм:

  • Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
  • Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
  • Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

3. Объем и площадь призмы:

  • формула объема призмы:  , где   — площадь основания,   — высота.
  • Необычная формула объема призмы:  , где   – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,   – длина бокового ребра.
  • Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.  .

Теперь я хочу услышать тебя!

Я постаралась сжато, без воды рассказать о том, что такое призма.

Что тебе понравилось? Что не понравилось?

Может быть ты нашел ошибку?

Или знаешь другой хороший материал на эту тему? 

Источник: https://youclever.org/book/prizma-1

Призма, вписанная в сферу

Площадь пятиугольной призмы формула. Призма

      Определение 1. Призмой, вписанной в сферу, называют такую призму, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

      Определение 2. Если призма вписана в сферу, то сферу называют описанной около призмы.

Рис.1

      Теорема. Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. Призма является прямой призмой;
  2. Около оснований призмы можно описать окружности.

      Доказательство. Докажем сначала, что если   n – угольная призма   A1A2 … AnA'1A'2 … A'n вписана в сферу, то оба условия теоремы выполнены.

      Для этого заметим, что плоскость каждого из оснований призмы пересекает сферу по окружности, на которой лежат вершины этого основания. Таким образом, многоугольники, являющиеся основаниями призмы, оказываются вписанными в окружности (рис. 1), то есть второе условие теоремы выполнено.

      Каждая из боковых граней призмы также вписана в окружность (рис. 2).

Рис.2

      В разделе «Призмы» доказано, что каждая из боковых граней призмы – параллелограмм. Но около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда этот параллелограмм – прямоугольник. Следовательно, все боковые грани призмы являются прямоугольниками.

      Рассмотрим какое-нибудь боковое ребро призмы, например,   A2A'2.   Поскольку это ребро перпендикулярно к ребрам основания   A1A2   и   A2A3,   то в силу признака перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что боковое ребро   A2A'2   перпендикулярно к плоскости основания призмы, то есть призма является прямой призмой.

      Таким образом, мы доказали, что, если призма вписана в сферу, то оба условия теоремы выполнены.

      Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму   A1A2 … AnA'1A'2 … A'n   высоты   h,   около оснований которой можно описать окружности, и докажем, что около такой призмы можно описать сферу.

      Для этого обозначим символом   O1   центр окружности радиуса   r, описанной около нижнего основания призмы, а символом   O'1   обозначим центр окружности, описанной около верхнего основания призмы (рис. 3).

Рис.3

      Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы описанных около них окружностей будут равны.

      Согласно утверждению 1 из раздела «Призмы, вписанные в цилиндры» отрезок   O1O'1,   соединяющий центры окружностей, описанных около нижнего и верхнего оснований призмы, параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы   h.   Значит, и отрезок   O1O'1   перпендикулярен плоскости основания призмы и равен   h.

      Обозначим буквой   O   середину отрезка   O1O'1   и докажем, что все вершины призмы будут находиться на одном и том же расстояниии от точки   O   (рис. 4).

Рис.4

      C помощью теоремы Пифагора из равных прямоугольных треугольников   OA1O1,   OA2O1,   …   OAnO1,   OA'1O'1,   OA'2O'1,   …   OA'nO'1   получаем, что точка   O   находится на расстоянии

(1)

от всех вершин призмы. Отсюда следует, что точка   O   является центром сферы радиуса   R  , описанной около призмы.

      Теорема доказана.

      Следствие 1. Около любой прямой треугольной призмы можно вписать сферу.

      Справедливость следствия 1 вытекает из того, что около любого треугольника можно описать окружность.

      Следствие 2. Около любого прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба) можно описать сферу.

      Справедливость следствия 2 вытекает из того, что около любого прямоугольника можно описать окружность.

      Следствие 3. Около любой правильной призмы можно описать сферу.

      Для доказательства следствия 3 достаточно заметить, что правильная n – угольная призма – это прямая призма, основания которой являются правильными n – угольниками, а около любого правильного n – угольника можно описать окружность.

Радиус сферы, описанной около правильной n – угольной призмы

      Задача 1. Найти радиус сферы, описанной около правильной n – угольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a.

      Решение. Поскольку радиус описанной около правильного n – угольника окружности выражается через сторону этого многоугольникарадиус описанной около правильного n – угольника окружности выражается через сторону этого многоугольника по формуле

то из формулы (1) получаем выражение для радиуса описанной сферы

(2)

      Ответ.

      Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильной треугольной призмы правильной треугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   равен

      Следствие 5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   равен

      Следствие 6. Радиус сферы, описанной около около правильной шестиугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   равен

Отношение объема правильной n – угольной призмы к объему шара, ограниченного описанной около призмы сферой

      Задача 2. Около правильной n – угольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   описана сфера. Найти отношение объемов призмы и шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы.

      Решение. Объем шара выражается через его радиус по формуле

      Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около призмы сферой, через высоту и ребро основания призмы:

      Объем правильной n – угольной призмы найдем по формулеОбъем правильной n – угольной призмы найдем по формуле:

      Таким образом,

      Ответ.

      Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

      Следствие 8. Отношение объема правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

      Следствие 9. Отношение объема правильной шестиугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/uslugi/priceegerus1.htm

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.