Правила решения иррациональных уравнений. Как решать иррациональные уравнения. Примеры

����� 2003

����� ��� �������

�§ 2� | ���������� | �����������

����� 2. ��������� � ������� ���������

���� �������� �������� ����������, ���������� ����������� ��� ������ �������� (�����). ����� ��������� ���������� ���������������.

�������� ���� ������� ��������������� ��������� � ������������ �� ����������������, � �������� ��������:

  • ������������ ��������������;
  • ������� � ���������-��������� (� ����������� ��������� ������ ������������ �� � ������ ���������);
  • ������ ����������.

����� ����, ��������� �������������� ��������� ����� ������, ��������� ������������ �������

� ������� � ���������� ��������.

��������� ��������� ����������� � ��� ������, ���������� �������������� ���������: ��������� �������� ������� ����� ������ �������� ������ ���������� (� �������� ������ ��������� ��� ���� �������) � ������������ �� ����������������.

����� �� �������� ���������������� �������������� ��� ������� �������������� ��������� �������� ���������� � ������� ����� ������ ���������.

��������, ��� ���� ��� ����� ��������� �������������� �� ��������� ���������, �� ���������� � ������� ����� ������ ������ ��������� �� �������� �� � ������, �� � ������������ ������� �� ���� ���������, �. �.

�������� ������������ ���������������. �������

f(x) = g(x) � ���� ���

� ����� ����, ���� ������ ����� ��������� ������������, �� ��� �� ����� ������� � ���� ����������������� ����� ����� (����������� �����). ���� �� ������ ����� ��������� ��������������, �� ���������� � ������� ����� ��� ������ �������� ������������ ���������������. � ��������� ������� ����� ��������� ���������� f(x) � 0, ������� ���������� �������, ��� ��� ��������� ������� �������� �� �������� ����������, ��� ������� f(x) = g2(x) � 0. � ���� ����� ����� ��������� ����������� ��������������� ����������� �����: �������������� ���������� ������ �� ����� a ���������� ����� ��������������� ����� b, ������� �������� ����� a. ����� �������,

a = b ���� ���

������� �������� �� ��, ��� � ���� ����������� ��� �� ����� � ����� ����� a: ���� ������� ������������� a ����������� ������ �� �������������. ��� �� ����� ������� � ������� ����������� f(x) � 0 �� ������� ������� �� �������, �� ���� ���������, ��������� �����������

f(x) = g(x) � ����� ����

�������� ������.

������������� �������� �������� �������� � �� ��, ��� ������ �� �� ���� ���������� ���������� �������� ������� ���������� �������� �������. ���, ��������, ���������
����������� �������

���� ���
l x2 + 2x – 9 = 2x – x – 3

������ ��� ������� ����� ��������� �������, ��� �������, ���������� �� ����� � ���� ������������ ������ ����������� ������� (� ������ ������ �� ����� ������ ������ �� ���������). ���������� ������ ��������� ������� � ���������, ������������� �� ��� ����� ����������� �������. � ����������� ������� ������� ��������� �������� ����� 2 � -3, �� ������� 2 �� ������������� ����������� �������, � -3 � �������������. ����� �������, ���������

����� ������������ ������ -3.

��� ���������� ���� �������� ����� ���������, ��� ������ ������ ������� ����������� ������ �� ��������������� ����� � ��� ���� ��������� ��������������� ��������. ����������, � ��������� ����� ��������� ��� �������� �����, � ��� ����� � �������� (

��� a � 0).

�������� ����� ������������� �����, ��������� � ��������������� �����������, ����������� ����� ������ �������, �� ��, ��� � �����������, ����������� ���������� �����.

���������

(nN) ��� ������������� a ������� �� �����, � ��� ��������������� ��������� a ����������� ��������� f(x) = a2n ��� ����� �� �� �� ���� �������������� �������.

���������
����������� ��������� �������

���� ���

������, ��� �������, ��������� ������� ��������, � ����������� �����������. ���������
����������� ��������� �������

���� ���

������, ��� �������, ��������� ������� ��������, � ����������� �����������.

��� ������� ���������, ���������� ����� �������� �������, ������� �������, ��� ��� ����� ����������� �� ������ ��������������� ����� � ��������� ����� �������������� ��������. ���, ��������, ���������

����������� ��������� f(x)=g(x).

����� �� ����� ���������������� ������� ������� ��������� �������� ������ ����������. �� ���������� ���������� � �������������� ���������.

�������� ����� ����������� ���������, ������� ����� �������� � ����
(� ���� ������ ������������ ������
, z � 0, ����� ������� ��������� �������� � ����������� ������������ z) � ��������� ����

a ·   �� + b ·   �� = c

(� ���� ������ ��������� �������� � ����������� �������
z > 0). ������� �������� �� ��, ��� ��� �����������

���������� z ��������� ������ ��������������� ��������, � ��� �����������

 � ����� �������������� ��������.

������ ��� �������������� ��������� ������������ ����� ���������, ���������� ���������
, � �������� ��������� ��� ������� ���� ��������� ������� � �� ������������ � ���������� ����������� ����� ��� ����� � ������ �����������:
(� ����� ������ ����� ��������).

����� �� �������� ������ ��� ������� �������������� ��������� �������� �������� �������������� ����� �� ������������ (��������) ���� ������� � ������������ (�������) ������ �� ���� ������� � �������� ��������������.

� ���� � �������� ��� �� ������ �������, � ������� ����� �������������� ����������, ��� ��������, ������� ����� ������� �������� � ����, ������������� ���������� � ����������� ����� ������. ������ ��� ������� � ���, ��� ������� ����������� ���������
���� ������� ����������� ��������� .

� ����� ����, ������ ��������� ����������, ����

���� ���

������ ��������� ����������, ����

���� ���

(� ���� ������

f(x)g(x) =f(x)g(x)

) ���

���� ���

(� ���� ������

f(x)g(x) =f(x)g(x)

). ������� ����� �������� �� ����� �� ������������ � ������������ ������ ����� �������� ������� (����� ����� �� ���������, ����� ������������� ��� ������), � ��� �������� �������� � ���������� ����������� ������� (��� ���� ����� �� ���������, ����� ������� ��������). � �������� ������� ����� ���������

x(x + 3) + (x + 3)   �� – 2 = 0

. ����������� ��������� ��������������, ���� x � 0 ��� x< - 3. ���������� ��� ������. ����� x � 0. � ���� ������

(x + 3)   �� =(x + 3)  �x =x + 3 ·�x =x(x + 3)

. ��������� ��������� ��������� ����� z (z � 0), ������� ���������� ��������� z2 + z – 2 = 0, ������������ ��������������� ������ �������� �������� ����� 1. ������� �������� ������:

x(x + 3) = 1 � x(x + 3) = 1�     x2 + 3x – 1 = 0

, ������
. ������� x � 0 ������������� ������ ������

. ����� ������ x< - 3. � ���� ������

(x + 3)   �� =(x + 3) = – ( – (x + 3)) =-– (x + 3)x = –x(x + 3)

. ���������� ��������� ������������ ��� �� ���������� z ����� ����� ��� z2 – z – 2 = 0. ������������ ��������������� ������ ���������� ��������� �������� ����� 2. ����� �������,

x(x + 3) = 2 � x(x + 3) = 4 � x2 + 3x – 4 = 0

, ������ x = – 4; x = 1. ������� x< - 3 ������������� ������ x = – 4. ����������� ������ ����������, ��� ������������� ������� ������ ������������� ����� �������� � ������ �������.

����� �������� �������� �������� � �� ��������� ����

. ��� ������� �������� �������� ����������� ������� ����� ������, ��������� � ����� ��������� �������� ��������� ���� ������������ ���� ������������: ������������ ���� ������������ ����� ����, ���� ���� �� ���� �� ��� ����� ����, � ������ �� ������ ������.

� ��������� ����� ����� ����������� ����� ��������, ���������� ���� �������� ��������� � ����� ����������� ������.

����� ����� ���������, �������� ������ ��������� �������������� ������� ��������� ���� ������������ ���� ������� � �� ������� ����������� ������� f(x) ������� � ������������ ������������

���� ���
{ ***{

��� �� ����������� ��� ������, ���� ���� ������������ �� ������������.

��������� ������� �������� �������������� ���������, ���������� ����� ������ ����� �����, � ���������, �� �� ���, ������� ����� �������� � ����

f(x) +g(x) =h(x) .

� ��� ������, ���� ������� f(x), g(x), h(x) �������� ���������, ��������� �������� ����������� �������: ����������� � ������� ����� ��� ������ ��� �������, ��� ������ �� ���� ������� ��������������. ����� ���������� � ������� � ���������� �������� ����� �������� ��������� ����
, ������� �������� ����� �� ��������, ������������� ����. ���������� ��� �� �������� ���������
� � ��� ������, ���� ���� �� ��������� �������� ������. ���� �� ���� �� ���� �� ������� f(x), g(x), h(x) �� �������� �������� (������ �� ���� �� ��������� �� �������� ������), �� ������ ������ ������� ����� ��������� �� ����������.

�������� ������� ���� �������������� ��������� � ������ �������������� ���������.

2.3.B08 a) ������ ���������

�������. ������ ��������� ����������� ������������

��� ���
{

����� ������ ���������: 

10+3x-4x2 =0 � 4x2-3x-10=0

. ����� ���������:
��������� -3x+8=0 ����� ������ 

. ���� ������ �� ������������� ����������� 10+3x-4x2 � 0.

�����:
.

�§ 2� | ����������� | ������������

Источник: https://www.mccme.ru/exam/kn_uch/book2v3a.htm

Как решать иррациональные уравнения. Примеры

Правила решения иррациональных уравнений. Как решать иррациональные уравнения. Примеры

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называт иррациональными.

Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня – четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (опредедение корня с четным показателем степени);

2) если показатель корня – нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

Возведем обе части уравнения в квадрат.
x2 – 3 = 1;Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.

x2 = 4;

Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня  -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.Проверка.

При x1 = -2  – истинно:

При x2 = -2- истинно.
Отсюда  следует, что исходное иррациональное уравнение   имеет два  корня -2 и 2.

Пример 2. Решить уравнение.

Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:

а) x – 90;

x9;

б) 1 – x0;

-x-1 ;

x1.

ОДЗ данного уранения: x.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение=+ 2.

Решение.

Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную задачу. Возведем обе части уравнения в квадрат:
x3 + 4x – 1 – 8= x3 – 1 + 4+ 4x;
=0;
x1=1; x2=0.
Произведя проверку устанавливаем, что x2=0  лишний корень.
Ответ: x1=1.

Пример 4. Решить уравнение x =.

Решение.

В этом примере ОДЗ найти легко. ОДЗ этого уравнения: x[-1;).

Возведем обе части этого уравнения в квадрат, в результате получим уравнение x2= x + 1. Корни этого уравнения:

x1 =

x2 =

Произвести проверку найденных корней трудно. Но, несмотря на то, что оба корня принадлежат ОДЗ утверждать, что оба корня являются корнями исходного уравнения нельзя. Это приведет к ошибке. В данном случае иррациональное уравнение равносильно совокупности двух неравенств и одного уравнения:

x + 10 и x0 и x2 = x + 1, из которой следует, что отрицательный корень для иррационального уравнения является посторонним и его нужно отбросить.

Ответ:

Пример 5 . Решить уравнение+= 7.

Решение.

Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним  приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5.

В результате мы получим уравнение
 = 12,  (*) являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение (х + 5)(20 – х) = 144,  являющееся следствием исходного.

Полученное уравнение приводится к виду x2 – 15x + 44 =0. 

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x1 = 4, х2 = 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Отв. х1 = 4, х2= 11.

Замечание. При возведении уравнений в квадрат учащиеся нередко в уравнениях типа (*) производят перемножение подкоренных выражений, т. е. вместо уравнения•= 12, пишут уравнение  = 12. Это не приводит к ошибкам, поскольку уравнения  являются следствиями уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.

В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.

Пример 6. Решить уравнение-= 3.

Решение.

 Уединив первый радикал, получаем уравнение
=+ 3, равносильное исходному.

  Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

  x2 + 5x + 2 = x2 – 3x + 3 + 6, равносильное уравнению

  4x – 5 = 3(*). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения  в квадрат, приходим к уравнению
16×2 – 40x + 25 = 9(x2 – Зх + 3), или

 7×2 – 13x – 2 = 0.

   Это уравнение является следствием уравнения (*) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x1 = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x2 =- не удовлетворяет.

 Ответ: x = 2.

  Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громозкие преобразования.

  При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).

 Пример 7. Решить уравнение 2×2 – 6x ++ 2 = 0.

 Решение.

  Введем вспомогательную переменную. Пусть y =, где y0, тогда получим уравнение 2y2 + y – 10 = 0;
y1 = 2; y2 = -. Второй корень не удовлетворяет условию y0.Возвращаемся к x:

= 2;

x2 – 3x + 6 = 4;
x2 -3x + 2 = 0;
x1 = 1; x2 = 2. Проверкой устанавливаем, что оба корня являются корнями иисходного уравнения.
Ответ: x1 = 1; x2 = 2.

 Пример 8. Решить уравнение+=

 Решение.

  Положим= t, Тогда уравнение примет вид t +=откуда получаем следствие: 2t2 – 5t + 2 = 0 Решая это квадратное уравнение, находим два корня:  t1 = 2 t2 =. Задача сводится теперь к решению следующих двух уравнений:
= 2,(*)=(**)

  Возводя обе части уравнения (*) в куб, получаем 12 – 2x = 8x – 8; x1 = 2.

  Аналогично, решив (**), находим x2 =.

  Оба найденных корня удовлетворяют исходному уравнению, так как в процессе решения мы использовали (кроме замены неизвестного) только преобразование вида [f(x) = g(x)][fn(x) = gn(x)], а при таком преобразовании, как было отмечено выше, получается равносильное уравнение.

 Ответ: х1 = 2, x2 =.

Источник: http://viripit.ru/Pag5_3.htm

Методы решения иррациональных уравнений

Правила решения иррациональных уравнений. Как решать иррациональные уравнения. Примеры

Методы решения иррациональных уравнений.

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны уметь решать иррациональные уравнения различными способами.

За три недели до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №1: решить различные иррациональные уравнения. (Учащиеся самостоятельно находят по 6 различных иррациональных уравнений и решают их в парах.)

За одну неделю до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №2, которое выполняют индивидуально.

1. Решить уравнение различными способами.

2. Оценить достоинства и недостатки каждого способа.

3. Оформить запись выводов в виде таблицы.

№ п/пСпособДостоинстваНедостатки

Цели урока:

Образовательная: обобщение знаний учащихся по данной теме, демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений, умения учащихся подходить к решению уравнений с исследовательских позиций.

Воспитательная: воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и общаться в группах, повышение интереса к предмету.

Развивающая: развитие логического мышления, алгоритмической культуры, навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при выполнении домашнего задания, умений анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, таблица «Правила решения иррациональных уравнений», плакат с цитатой М.В. Ломоносова «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит», карточки.

Правила решения иррациональных уравнений.

Тип урока: урок-семинар (работа в группах по 5-6 человек, в каждой группе обязательно есть сильные ученики).

Ход урока

I. Организационный момент

(Сообщение темы и целей урока)

II. Презентация исследовательской работы «Методы решения иррациональных уравнений»

(Работу представляет учащийся, который ее проводил.)

III.Анализ методов решения домашнего задания

(По одному учащемуся от каждой группы записывают на доске предложенные ими способы решения. Каждая группа анализирует один из способов решения, оценивает достоинства и недостатки, делает выводы. Учащиеся групп дополняют, если это необходимо. Оценивается анализ и выводы группы. Ответы должны быть четкими и полными.)

Первый способ: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

Снова возведем обе части уравнения в квадрат:

Отсюда

Проверка:

1. Если х=42, то , значит, число 42 не является корнем уравнения.

2. Если х=2, то , значит, число 2 является корнем уравнения.

Ответ: 2.

№ п/пСпособДостоинстваНедостатки
1Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень1. Понятно.2. Доступно.1. Словесная запись.2. Сложная проверка.

Вывод. При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает сложной и занимает много времени. Этот метод можно использовать для решения несложных иррациональных уравнений, содержащих 1–2 радикала.

Второй способ: равносильные преобразования.

Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат:

Ответ:2.

№ п/пСпособДостоинстваНедостатки
2Равносильных преобразований1. Отсутствие словесного описания.2. Нет проверки.3. Четкая логическая запись.4. Последовательность равносильных переходов.1. Громоздкая запись.2. Можно ошибиться при комбинации знаков системы и совокупности.

Вывод. При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда – совокупности.

Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности нередко приводят к ошибкам.

Однако последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными достоинствами данного способа.

Третий способ: функционально-графический.

Решение.

Рассмотрим функции и .

1. Функция степенная; является возрастающей, т.к. показатель степени – положительное (не целое) число.

Найдем область определения функции D(f).

Составим таблицу значений x и f(x).

x1,523,56
f(x)0123

2. Функция степенная; является убывающей.

Найдем область определения функции D(g).

Составим таблицу значений x и g(x).

x026
g(x)431-1

Построим данные графики функций в одной системе координат.

Графики функций пересекаются в точке с абсциссой Т.к. функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает, то решение уравнения будет только одно.

Ответ: 2.

№п/пСпособДостоинстваНедостатки
3Функционально-графический1. Наглядность.2. Не нужно делать сложных алгебраических преобразований и следить за ОДЗ.3. Позволяет найти количество решений.1. словесная запись.2. Не всегда можно найти точный ответ, а если ответ точный, то нужна проверка.

Вывод. Функционально-графический метод является наглядным, позволяет найти количество решений, но применять его лучше тогда, когда легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить точный ответ. Если ответ приближенный, то лучше воспользоваться другим методом.

Четвертый способ: введение новой переменной.

Решение. Введем новые переменные, обозначив Получим первое уравнение системы

Составим второе уравнение системы.

Для переменной :

,

Для переменной

Поэтому

Получим систему двух рациональных уравнений, относительно и

Вернувшись к переменной , получим

Ответ: 2.

№п/пСпособДостоинстваНедостатки
4Введение новой переменнойУпрощение – получение системы уравнений, не содержащих радикалы1. Необходимость отслеживать ОДЗ новых переменных2. Необходимость возврата к исходной переменной

Вывод. Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаком корня.

– Итак, ребята, для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее удобный способ решения: понятный. Доступный, логически и грамотно оформленный. Поднимите руку, кто из вас при решении этого уравнения отдал бы предпочтение:

1) методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с проверкой;

2) методу равносильных преобразований;

3) функционально-графическому методу;

4) методу введения новой переменной.

IV. Практическая часть

(Работа в группах. Каждая группа учащихся получает карточку с уравнением и решает ее в тетрадях. В это время по одному представителю от группы решают пример на доске.

Учащиеся каждой группы решают тот же пример, что и член их группы, и следят за правильностью выполнения задания на доске. Если отвечающий у доски допускает ошибки, то тот, кто их замечает, поднимает руку и помогает исправить.

В ходе занятия каждый учащийся помимо примера, решаемого его группой, должен записать в тетрадь и другие, предложенные группам, и решить их дома.)

Группа 1.

Группа 2.

Группа 3.

V.Самостоятельная работа

(В группах сначала идет обсуждение, а затем учащиеся приступают к выполнению задания. Правильное решение, подготовленное преподавателем, выводится на экран.)

VI. Подведение итогов урока

Теперь вы знаете, что решение иррациональных уравнений требует от вас хороших теоретических знаний, умения применять их на практике, внимания, трудолюбия, сообразительности.

Домашнее задание

Решить уравнения, предложенные группам в ходе занятия.

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/metodi_resheniya_irratcionalnih_uravnenij_102827.html

Калькулятор онлайн.Решение иррациональных уравнений и неравенств

Правила решения иррациональных уравнений. Как решать иррациональные уравнения. Примеры

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить иррациональное уравнение или неравенство. Программа для решения иррациональных уравнений и неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.

А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию и общие методы решения иррациональных уравнений и неравенств.

Примеры подробного решения >>

sqrt(x) – квадратный корень x
x(1/n) – корень степени n

Введите иррациональное уравнение или неравенство

Решить уравнение или неравенство Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

Пожалуйста подождите  сек…

Наши игры, головоломки, эмуляторы: Игра “iChart”Создание островаЭмулятор
гравитацииГоловоломка “SumWaves”

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Для таких уравнений ищут, как правило, только действительные корни.

Основной метод решения иррациональных уравнений — метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

При этом следует иметь в виду, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечётную степень есть равносильное преобразование уравнения, а в чётную — НЕравносильное.

Значит, основные принципиальные трудности связаны с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, когда из-за неравносильности преобразования могут появиться посторонние корни, а потому обязательна проверка всех найденных корней.

ПРИМЕР 1.
\( \sqrt[\Large6ormalsize]{x2-5x} = \sqrt[\Large6ormalsize]{2x-6} \)

Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим: \( x2-5x = 2x-6 \Rightarrow \) \( x2-7x +6= 0 \Rightarrow \) \( x_1=1, \; x_2=6 \)

Проверка. «Хорошие» корни можно проверить непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

При x = 1 заданное уравнение принимает вид \( \sqrt[\Large6ormalsize]{-4} = \sqrt[\Large6ormalsize]{-4} \), во множестве действительных чисел такое «равенство» не имеет смысла.

Значит, 1 — посторонний корень, он появился по причине расширения ОДЗ уравнения после возведения в шестую степень. При х = 6 заданное уравнение принимает вид \( \sqrt[\Large6ormalsize]{6} = \sqrt[\Large6ormalsize]{6} \) — это верное равенство.

Итак, уравнение имеет единственный корень: х = 6.

Ответ: х = 6

ПРИМЕР 2.
\( \sqrt{x2-x+2}+\sqrt{x2-x+7} = \sqrt{2×2-2x+21} \)

Введя новую переменную \( u=x2-x\), получим существенно более простое иррациональное уравнение: \( \sqrt{u+2}+\sqrt{u+7} = \sqrt{2u+21} \).

Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{u+2}+\sqrt{u+7})2 = (\sqrt{2u+21})2 \Rightarrow \) \( u+2 +2\sqrt{u+2}\sqrt{u+7} +u+7 = 2u+21 \Rightarrow \) \( \sqrt{(u+2)(u+7)} = 6 \Rightarrow \) \( u2+9u+14=36 \Rightarrow \) \( u2+9u-22=0 \Rightarrow \) \( u_1=2, \; u_2=-11 \) Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение \( \sqrt{u+2}+\sqrt{u+7} = \sqrt{2u+21} \) показывает, что \( u_1=2 \) — корень уравнения, а \( u_2=-11 \) — посторонний корень. Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение \( x2-x=2 \Rightarrow x2-x-2=0 \), решив которое находим два корня: \( x_1=2, \; x_2=-1 \)

Ответ: 2; -1.

ПРИМЕР 3.
\( x2+3-\sqrt{2×2-3x+2} = 1{,}5(x+4) \)

Уединение корня и возведение обеих частей уравнения в квадрат привело бы к громоздкому уравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, можно заметить, что уравнение легко сводится к квадратному. Действительно, умножим обе его части на 2: \( 2×2 +6 -2\sqrt{2×2-3x+2} = 3x+12 \Rightarrow \)

\( 2×2 -3x +2 -2\sqrt{2×2-3x+2} -8 = 0 \Rightarrow \)

Введя новую переменную \( y=\sqrt{2×2-3x+2} \), получим: \( y2-2y-8=0 \), откуда \( y_1=4, \; y_2=-2 \). Значит, исходное уравнение равносильно следующей совокупности уравнений:
\( \left[\begin{array}{l} \sqrt{2×2-3x+2} =4 \\ \sqrt{2×2-3x+2} = -2 \end{array}\right. \)

Из первого уравнения этой совокупности находим: \( x_1=3{,}5; \; x_2=-2 \). Второе уравнение корней не имеет.

Проверка. Так как совокупность уравнений равносильна исходному уравнению, причём второе уравнение этой совокупности корней не имеет, то найденные корни можно проверить подстановкой в уравнение \( \sqrt{2×2-3x+2} =4\). Эта подстановка показывает, что оба найденных значения x являются корнями этого уравнения, а значит, и исходного уравнения.
Ответ: 3,5; -2.

ПРИМЕР 4.
\( 2x -5 +2\sqrt{x2-5x} +2\sqrt{x-5} +2\sqrt{x}= 48 \)

Областью определения уравнения является луч \( [5; \; +\infty) \). В этой области выражение \( \sqrt{x2-5x} \) можно представить следующим образом: \( \sqrt{x2-5x} = \sqrt{x}\sqrt{x-5} \).

Теперь уравнение можно переписать так:
\( x+x -5 +2\sqrt{x}\sqrt{x-5} +2\sqrt{x-5} +2\sqrt{x} -48 = 0 \Rightarrow \) \( (\sqrt{x})2 +2\sqrt{x}\sqrt{x-5} +(\sqrt{x-5})2 +2(\sqrt{x-5}+\sqrt{x}) -48 = 0 \Rightarrow \) \( (\sqrt{x-5} +\sqrt{x})2 +2(\sqrt{x-5}+\sqrt{x}) -48 = 0 \)

Введя новую переменную \( y= \sqrt{x-5} +\sqrt{x} \), получим квадратное уравнение \( y2+2y-48=0 \), из которого находим: \( y_1=6, \; y_2=-8 \). Таким образом, задача свелась к решению совокупности уравнений: \( \left[\begin{array}{l} \sqrt{x-5} +\sqrt{x} =6 \\ \sqrt{x-5} +\sqrt{x} = -8 \end{array}\right. \)

Из первого уравнения совокупности находим \( x= \left( \frac{41}{12} \right)2 \), второе уравнение совокупности решений явно не имеет.

Проверка. Нетрудно проверить (подстановкой), что \( x= \left( \frac{41}{12} \right)2 \) — является корнем уравнения \( \sqrt{x-5} +\sqrt{x} =6 \). Но это уравнение равносильно исходному уравнению, значит, \( x= \left( \frac{41}{12} \right)2 \) — является корнем и исходного уравнения.
Ответ: \( x= \left( \frac{41}{12} \right)2 \)

Иногда при решении иррациональных уравнений оказывается удобным ввести две новые переменные.

ПРИМЕР 5.
\( \sqrt[\Large4ormalsize]{1-x} + \sqrt[\Large4ormalsize]{15+x} =2 \)

Введём новые переменные: \( \left\{\begin{array}{l} u=\sqrt[\Large4ormalsize]{1-x} \\ v=\sqrt[\Large4ormalsize]{15+x} \end{array}\right. \)

Тогда уравнение примет вид \(u+v=2\). Но для нахождения значений двух новых переменных одного уравнения недостаточно. Возведя в четвёртую степень обе части каждого из уравнений системы, получим: \( \left\{\begin{array}{l} u4=1-x \\ v4= 15+x \end{array}\right. \)

Сложим уравнения последней системы: \(u4 +v4 =16\). Таким образом, для нахождения u, v мы имеем следующую симметрическую систему уравнений: \( \left\{\begin{array}{l} u+v=2 \\ u4 +v4 =16 \end{array}\right. \)

Решив её, находим: \( \left\{\begin{array}{l} u_1=0 \\ v_1 =2; \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} u_2=2 \\ v_2 =0 \end{array}\right. \)

Таким образом, исходное уравнение свелось к следующей совокупности систем уравнений: \( \left\{\begin{array}{l} \sqrt[\Large4ormalsize]{1-x} =0 \\ \sqrt[\Large4ormalsize]{15+x} =2; \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} \sqrt[\Large4ormalsize]{1-x} =2 \\ \sqrt[\Large4ormalsize]{15+x} =0 \end{array}\right. \)

Решив эту совокупность, находим: \(x_1=1, \; x_2=-15 \)

Проверка. Проще всего проверить найденные корни непосредственной подстановкой в заданное уравнение. Проделав это, убеждаемся, что оба значения являются корнями исходного уравнения.
Ответ: 1; -15.

ПРИМЕР 6.
\( \sqrt[\Large3ormalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3ormalsize]{6x+1} = \sqrt[\Large3ormalsize]{2x-1} \)

Возведём обе части уравнения в куб: \( 2x+1 + 3\sqrt[\Large3ormalsize]{(2x+1)2} \cdot \sqrt[\Large3ormalsize]{6x+1} + 3\sqrt[\Large3ormalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3ormalsize]{(6x+1)2} +6x+1 = 2x-1 \Rightarrow \) \( 3\sqrt[\Large3ormalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3ormalsize]{6x+1} \cdot (3\sqrt[\Large3ormalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3ormalsize]{6x+1} ) = -6x-3 \)

Воспользовавшись исходным уравнением, заменим сумму \( \sqrt[\Large3ormalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3ormalsize]{6x+1} \) на выражение \( \sqrt[\Large3ormalsize]{2x-1} \): \( 3\sqrt[\Large3ormalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3ormalsize]{6x+1} \cdot \sqrt[\Large3ormalsize]{2x-1} = -6x-3 \Rightarrow \) \( 3\sqrt[\Large3ormalsize]{ (2x+1)(6x+1)(2x-1) } = -2x-1 \) Возведём обе части в куб: \( (2x+1)(6x+1)(2x-1) = -(2x+1)3 \Rightarrow \) \( (2x+1)((6x+1)(2x-1) + (2x+1)2) =0 \Rightarrow \) \( 16×2(2x+1) =0 \Rightarrow \) \( x_1= -0{,}5; \; x_2=0 \)

Проверка. Подстановкой найденных значений x в исходное уравнение убеждаемся, что его корнем является только x = -0,5.
Ответ: -0,5.

Рассмотрим иррациональное неравенство вида \( \sqrt{f(x)} < g(x) \).

Ясно, что его решения должны удовлетворять условию \( f(x) \geq 0 \) и условию \( g(x) > 0 \). Осталось лишь заметить, что при одновременном выполнении указанных выше условий обе части заданного иррационального неравенства неотрицательны, а потому их возведение в квадрат представляет собой равносильное преобразование неравенства.

Таким образом, иррациональное неравенство \( \sqrt{f(x)} < g(x) \) равносильно системе неравенств
\( \left\{\begin{array}{l} f(x) \geq 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))2 \end{array}\right. \)

ПРИМЕР 7.
\( \sqrt{x2-x-12} < x \)

Данное неравенство равносильно системе неравенств: \( \left\{\begin{array}{l} x2-x-12 \geq 0 \\ x > 0 \\ x2-x-12 < x2 \end{array}\right. \Rightarrow \) \( \left\{\begin{array}{l} (x-4(x+3) \geq 0 \\ x > 0 \\ x > -12 \end{array}\right. \)

Получаем: \( x \geq 4\)

Ответ: \( x \geq 4\)

Рассмотрим теперь неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \).

Ясно, во-первых, что его решения должны удовлетворять условию \( f(x) \geq 0 \). Во-вторых, замечаем, что при \( g(x) < 0 \) (и при отмеченном выше условии \( f(x) \geq 0 \) ) справедливость неравенства \( \sqrt{f(x)} > g(x) \) не вызывает сомнений.

В-третьих, замечаем, что если \( g(x) \geq 0 \), то можно возвести в квадрат обе части заданного иррационального неравенства.

Таким образом, иррациональное неравенство \( \sqrt{f(x)} > g(x) \) равносильно совокупности систем неравенств:
\( \left\{\begin{array}{l} f(x) \geq 0 \\ g(x) < 0; \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} f(x) \geq 0 \\ f(x) \geq 0 \\ f(x) > (g(x))2 \end{array}\right. \)

Во второй системе первое неравенство является следствием третьего, его можно не писать.

ПРИМЕР 8.
\( \sqrt{x2-x-12} \geq x \)

Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств: \( \left\{\begin{array}{l} x2-x-12 \geq 0 \\ x < 0; \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x2-x-12 \geq x2 \end{array}\right. \)

Имеем: \( \left\{\begin{array}{l} (x-4)(x+3) \geq 0 \\ x < 0; \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x \leq -12 \end{array}\right. \)

Из первой системы находим: \( x \leq -3\), вторая система не имеет решений.

Ответ: \( x \leq -3\)

ПРИМЕР 9.
\( (x+5)(x-2) +3\sqrt{x(x+3)} >0 \)

Преобразуем неравенство к виду \( x2+3x-10 +3\sqrt{x2+3x} >0 \) и введём новую переменную \( y= \sqrt{x2+3x} \). Тогда последнее неравенство примет вид \( y2+3y-10 >0 \), откуда находим, что либо \(y < -5\), либо \(y>2\).

Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух неравенств: \( \left[\begin{array}{l} \sqrt{x2+3x} < -5 \\ \sqrt{x2+3x} > 2 \end{array}\right. \)

Первое неравенство не имеет решений, а из второго находим: \( x2+3x >4 \Rightarrow \) \( (x+4)(x-1) >0 \Rightarrow \)

\( x1 \)
Ответ: \( x1 \).

Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/irrational-equality-inequality

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.