Виды чисел. Натуральные, целые, рациональные и действительные. Целые числа

Числа: натуральные, целые, рациональные, действительные. Обыкновенные и десятичные дроби

Виды чисел. Натуральные, целые, рациональные и действительные. Целые числа
Натуральные числа – это те числа, с которых когда-то всё началось. И сегодня это первые числа, с которыми встречается в своей жизни человек, когда в детстве учится считать на пальцах или счетных палочках.

Определение: натуральными называют числа, которые используют для счета предметов (1, 2, 3, 4, 5, … ) [Число 0 не является натуральным.

Оно и в истории математики имеет свою отдельную историю и появилось много позже натуральных чисел.]

Множество всех натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, … ) обозначают буквой N.

Целые числа

Научившись считать, следующее, что мы делаем – это учимся производить над числами арифметические действия. Обычно сначала (на счетных палочках) учатся выполнять сложение и вычитание.

Со сложением всё понятно: сложив любые два натуральных числа, в результате всегда получим тоже натуральное число. А вот в вычитании обнаруживаем, что из меньшего отнять большее так, чтобы в результате получилось натуральное число, мы не можем.

(3 − 5 = чему?) Здесь возникает идея отрицательных чисел. (Отрицательные числа уже не являются натуральными)

На этапе возникновения отрицательных чисел (а они появились позже дробных) существовали и их противники, считавшие их бессмыслицей. (Три предмета можно показать на пальцах, десять можно показать, тысячу предметов можно представить по аналогии.

А что такое “минус три мешка”? — В то время числа хоть уже и использовались сами по себе, в отрыве от конкретных предметов, количество которых они обозначают, всё ещё были в сознании людей гораздо ближе к этим конкретным предметам, чем сегодня.

) Но, как и возражения, так и основной аргумент в пользу отрицательных чисел, пришел из практики: отрицательные числа позволяли удобно вести счет долгам. 3 − 5 = −2 — у меня было 3 монеты, я потратила 5. Значит, у меня не просто закончились монеты, но и 2 монеты я кому-то должна.

Если верну одну, долг изменится −2+1=−1, но тоже может быть представлен отрицательным числом.

В итоге, отрицательные числа появились в математике, и теперь у нас есть бесконечное количество натуральных чисел (1, 2, 3, 4, …) и есть такое же количество им противоположных (−1, −2, −3, −4, …). Добавим к ним ещё 0. И множество всех этих чисел будем называть целыми.

Определение: Натуральные числа, им противоположные и нуль составляют множество целых чисел. Оно обозначается буквой Z.

Любые два целых числа можно вычесть друг из друга или сложить и получить в результате целое число.

Идея сложения целых чисел уже предполагает возможность умножения, как просто более быстрого способа выполнения сложения. Если у нас есть 7 мешков по 6 килограмм, мы можем складывать 6+6+6+6+6+6+6 (семь раз прибавлять к текущей сумме по 6), а можем просто помнить, что такая операция всегда будет давать в результате 42. Как и сложение шести семерок 7+7+7+7+7+7 тоже всегда будет давать 42.

Результаты операции сложения определенного числа самого с собой определенное количество раз для всех пар чисел от 2 до 9 выписываются и составляют таблицу умножения.

Для умножения целых чисел больше 9 придумывается правило умножения в столбик. (Которое распространяется и на десятичные дроби, и которое будет рассматриваться в одной из следующих статей.

) При умножении любых двух целых чисел друг на друга всегда получим в результате целое число.

Рациональные числа

Теперь деление. По аналогии с тем, как вычитание является обратной операцией для сложения, приходим к идее деления как обратной операции для умножения.

Когда у нас было 7 мешков по 6 килограмм, с помощью умножения мы легко посчитали, что общий вес содержимого мешков составляет 42 килограмма. Представим себе, что мы высыпали всё содержимое всех мешков в одну общую кучу массой 42 килограмма.

А потом передумали, и захотели распределить содержимое обратно по 7 мешкам. Сколько килограмм при этом попадет в один мешок, если будем распределять поровну? – Очевидно, что 6.

А если захотим распределить 42 килограмма по 6 мешкам? Тут мы подумаем о том, что те же общие 42 килограмма могли бы получиться, если бы мы высыпали в кучу 6 мешков по 7 килограмм. И значит при делении 42 килограмм на 6 мешков поровну получим в одном мешке по 7 килограмм.

https://www.youtube.com/watch?v=Ku52p2gC8Dg

А если разделить 42 килограмма поровну по 3 мешкам? И здесь тоже мы начинаем подбирать такое число, которое при умножении на 3 дало бы 42.

Для «табличных» значений, как в случае 6 ·7=42 => 42:6=7, мы выполняем операцию деления, просто вспоминая таблицу умножения. Для более сложных случаев используется деление в столбик, которое будет рассмотрено в одной из следующих статей.

В случае 3 и 42 можно «подбором» вспомнить, что 3 ·14 = 42. Значит, 42:3=14. В каждом мешке будет по 14 килограмм.

Теперь попробуем разделить 42 килограмма поровну на 5 мешков. 42:5=?
Замечаем, что 5 ·8=40 (мало), а 5·9=45 (много). То есть, ни по 8 килограмм в мешке, ни по 9 килограмм, из 5 мешков мы 42 килограмма никак не получим. При этом понятно, что в реальности разделить любое количество (крупы, например,) на 5 равных частей нам ничего не мешает.

Операция деления целых чисел друг на друга не обязательно дает в результате целое число. Так мы пришли к понятию дроби. 42:5 = 42/5 = 8 целых 2/5 (если считать в обыкновенных дробях) или 42:5=8,4 (если считать в десятичных дробях).

Обыкновенные и десятичные дроби

Можно сказать, что любая обыкновенная дробь m/n (m – любое целое, n – любое натуральное) представляет собой просто специальную форму записи результата деления числа m на число n.

(m называют числителем дроби, n – знаменателем) Результат деления, например, числа 25 на число 5 тоже можно записать в виде обыкновенной дроби 25/5. Но в этом нет необходимости, так как результат деления 25 на 5 может быть записан просто целым числом 5. (И 25/5 = 5).

А вот результат деления числа 25 на число 3 уже не может быть представлен целым числом, поэтому здесь и возникает необходимость использования дроби, 25:3=25/3. (Можно выделить целую часть 25/3= 8 целых 1/3. Более подробно обыкновенные дроби и операции с обыкновенными дробями будут рассмотрены в следующих статьях.

)

Обыкновенные дроби хороши тем, что, чтобы представить такой дробью результат деления любых двух целых чисел, нужно просто записать делимое в числитель дроби, а делитель в знаменатель.

(123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, …) Затем по возможности сократить дробь и/или выделить целую часть (эти действия с обыкновенными дробями будут подробно рассмотрены в следующих статьях). Проблема в том, что производить арифметические действия (сложение, вычитание) с обыкновенными дробями уже не так удобно, как с целыми числами.

Для удобства записи (в одну строку) и для удобства вычислений (с возможностью вычислений в столбик, как для обычных целых чисел) кроме обыкновенных дробей придуманы ещё и десятичные дроби.

Десятичная дробь – это специальным образом записанная обыкновенная дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.п. Например, обыкновенная дробь 7/10 – это то же, что и десятичная дробь 0,7. (8/100 = 0,08; 2 целых 3/10=2,3; 7 целых 1/1000 = 7, 001).

Переводу обыкновенных дробей в десятичные и наоборот будет посвящена отдельная статья. Операциям с десятичными дробями – другие статьи.

Любое целое число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. (5=5/1; −765=−765/1).

Определение: Все числа, которые могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, называют рациональными числами. Множество рациональных чисел обозначают буквой Q.

При делении любых двух целых чисел друг на друга (кроме случая деления на 0) всегда получим в результате рациональное число. Для обыкновенных дробей есть правила сложения, вычитания, умножения и деления, позволяющие произвести соответствующую операцию с любыми двумя дробями и получить в результате также рациональное число (дробь или целое).

Множество рациональных чисел – это первое из рассмотренных нами множеств, в котором можно и складывать, и вычитать, и умножать, и делить (кроме деления на 0), никогда не выходя за пределы этого множества (то есть, всегда получая в результате рационально число).

Казалось бы, других чисел не существует, все числа рациональные. Но и это не так.

Действительные числа

Существуют такие числа, которые нельзя представить в виде дроби m/n (где m-целое, n-натуральное).

Какие же это числа? Мы ещё не рассмотрели операцию возведения в степень. Например, 42=4 ·4 = 16.

53=5 ·5 ·5=125.

Как умножение представляет собой более удобную форму записи и вычисления сложения, так и возведение в степень – это форма записи умножения одного и того же числа самого на себя определенное количество раз.

Но теперь рассмотрим операцию, обратную возведению в степень – извлечение корня. Квадратный корень из 16 – это число, которое в квадрате даст 16, то есть число 4. Квадратный корень из 9 – это 3.

А вот квадратный корень из 5 или из 2, например, не может быть представлен рациональным числом.

(Доказательство этого утверждения, другие примеры иррациональных чисел и их историю можно посмотреть, например, в Википедии)

В ГИА в 9 классе есть задание на определение того, является ли число, содержащее в своей записи корень, рациональным или иррациональным. Задача заключается в том, чтобы попытаться преобразовать это число к виду, не содержащему корень (используя свойства корней). Если от корня не удается избавиться, то число иррациональное.

Другим примером иррационального числа является число π, знакомое всем из геометрии и тригонометрии.

Определение: Рациональные и иррациональные числа вместе называют действительными (или вещественными) числами. Множество всех действительных чисел обозначают буквой R.

В действительных числах, в отличии от рациональных, мы можем выразить расстояние между любыми двумя точками на прямой или на плоскости. Если нарисовать прямую и выбрать на ней две произвольные точки или выбрать две произвольные точки на плоскости, то может так получиться, что точное расстояние между этими точками невозможно выразить рациональным числом.

(Пример – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1 по теореме Пифагора будет равна корню из двух – то есть иррациональному числу. Сюда же относится точная длина диагонали тетрадной клетки (длина диагонали любого идеального квадрата с целыми сторонами).

)

А в множестве действительных чисел любые расстояния на прямой, в плоскости или в пространстве могут быть выражены соответствующим действительным числом.

Источник: http://ege-online-test.ru/theory.php?art=arifm01

Числа бывают натуральные и. Виды чисел. Натуральные, целые, рациональные и действительные

Виды чисел. Натуральные, целые, рациональные и действительные. Целые числа

Виды чисел. Натуральные, целые, рациональные и действительные.Число – абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.

Для решения задач и доказательства различных теорем необходимо понимать, какие бывают виды чисел. Основные виды чисел включают в себя: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, действительные числа.

Натуральные числа – это числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий»…). Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать, что N ={1,2,3,….}

Целые числа – это числа из множества {0, 1, -1, 2, -2, ….}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Можно сказать, что Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,….}.

Рациональные числа – это числа, представимые в виде дроби , где m – целое число, а n – натуральное число. При этом число m называется числителем, а число n – знаменателем дроби . Такую дробь следует понимать как результат деления m на n, даже если нацело разделить не удаётся. Для обозначения рациональных чисел используется латинская буква Q. Q ={…

;-3;-2,5;-2;-1;0;;1;2;3;3,5….}.Все натуральные и целые числа – рациональные. Также в качестве примеров рациональных чисел можно привести: , , . В реальной жизни рациональные числа используются для счёта частей некоторых целых, но делимых объектов, например, тортов или других продуктов, разрезаемых на несколько частей, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.

Действительные (вещественные) числа – это числа, которое применяются для измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R. Действительные числа включают в себя рациональные числа и иррациональные числа.

Иррациональные числа – это числа, которые получаются в результате выполнения различных операций с рациональными числами (например, извлечение корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными. Примеры иррациональных чисел – это , , .

Любое действительное число можно отобразить на числовой прямой:

Для перечисленных выше множеств чисел справедливо следующее высказывание:

То есть множество натуральных чисел входит во множество целых чисел. Множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А множество рациональных чисел входит во множество действительных чисел. Это высказывание можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.

Натуральные числа определение – это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа: 1; 2; 3; 4;…

Это натуральный ряд чисел. Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом. Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел. Каково наименьшее натуральное число? Единица – это наименьшее натуральное число.

Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:

Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:

с – это всегда натуральное число.

Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе – нет.

Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b

где с – натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a – делимое, b – делитель, c – частное.

Делитель натурального числа – это натуральное число, на которое первое число делится нацело.

Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь, имеется ввиду, делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

Единицу не считают простым числом.

Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел: 4; 6; 8; 9; 10

Единицу не считают составным числом.

Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел:

переместительное свойство сложения

сочетательное свойство сложения

(a + b) + c = a + (b + c);

переместительное свойство умножения

сочетательное свойство умножения

(ab) c = a (bc);

распределительное свойство умножения

a (b + c) = ab + ac;

Целые числа

Целые числа – это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.

Числа, противоположные натуральным – это целые отрицательные числа, например: -1; -2; -3; -4;…

Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.

Рациональные числа

Рациональные числа – это целые числа и дроби.

Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры: -1,(0); 3,(6); 0,(0);…

Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.

Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера: 22/6 = 3,(6);

Другой пример: рациональное число 9 может быть представлено в виде простой дроби как 18/2 или как 36/4.

Ещё пример: рациональное число -9 может быть представлено в виде простой дроби как -18/2 или как -72/8.

Множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.

Иррациональные числа

Иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби.

Примеры: число пи = 3,141592… число е = 2,718281…

Действительные числа

Действительные числа – это все рациональные и все иррациональные числа.

Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R.

Цель: Знать, что такое натуральное, целое, рациональное число,периодическая дробь; уметь записывать бесконечную десятичную дробь в видеобыкновенной, уметь выполнять действия с десятичными и обыкновенными дробями.

1. Закрепить изученный материал, меняя виды работы, по данной теме “Целыеи рациональные числа”.
2.

Развивать навыки и умения, в выполнении действий с десятичными иобыкновенными дробями, развивать логическое мышление, правильную и грамотнуюматематическую речь, развитие самостоятельности и уверенности в своих знаниях иумениях при выполнении разных видов работ.
3.

Воспитывать интерес к математике путём введения разных видовзакрепления материала: устной работой, работой с учебником, работой у доски,ответами на вопросы и умением делать самоанализ, самостоятельной работой;стимулированием и поощрением деятельности учащихся.

I. Организационный момент.
II. Новая тема:“Целые и рациональные числа”.1.Теоретическая часть.2. Практическая часть. 3. Работа по учебнику и у доски.

4. Самостоятельная работа по вариантам.

III. Итог.
1. По вопросам.
IV. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный момент.

Эмоциональный настрой и готовность преподавателя и обучающихся на урок.Сообщение цели и задач.

II. Новая тема: “Целые и рациональные числа”:

Теоретическая часть.

1. Первоначально под числом понимали лишь натуральныечисла. Которых достаточно для счёта отдельных предметов.

Множество N = {1; 2; 3…} натуральных чиселзамкнуто относительно операций сложения и умножения. Это значит, что сумма ипроизведение натуральных чисел являются числами натуральными.

2. Однако разность двух натуральных чисел уже невсегда является натуральным числом.

(Приведите примеры: 5 – 5 = 0; 5 – 7 = – 2, числа 0 и – 2 не являютсянатуральными).

Так, результат вычитания двух одинаковых натуральных чисел приводит к понятиюнуля и введению множества целых неотрицательных чисел

Z 0 = {0; 1; 2;…}.

3. Чтобы сделать выполнимой операцию вычитания, вводят отрицательные целые числа,то есть числа, противоположные натуральным. Таким образом получают множествоцелых чисел Z ={…; -3; -2; -1; 0; 1; 2;…}.

Чтобы сделать выполнимой операцию деления на любое число, не равное нулю,необходимо к множеству всех целых чисел присоединить множество всехположительных и отрицательных дробей. В результате получается множестворациональных чиселQ =.

При выполнении четырёх арифметических действий (кроме деления на нуль) надрациональными числами всегда получаются рациональные числа.

4. Каждое рациональное число можно представить в виде периодической десятичнойдроби.

Вспомним, что такое периодическая дробь. Это бесконечная десятичнаядробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та жецифра или несколько цифр – период дроби. Например, 0,3333…= 0,(3);

1,057373…=1,05(73).

Читаются эти дроби так: “0 целых и 3 в периоде”, “1 целая, 5 сотых и 73 впериоде”.

Запишем рациональные числа в виде бесконечной периодической десятичной дроби:

натуральное число 25 = 25,00…= 25,(0);

целое число -7 = -7,00…= -7,(0);

(пользуемся алгоритмом деления уголком).

5. Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическаядесятичная дробь является рациональным числом, так как может быть представлена ввиде дроби,где m – целое число, n – натуральное число.

Рассмотрим пример:

1) Пусть x= 0,2(18) умножая на 10, получаем 10x = 2,1818…(Нужно умножить дробьна 10 n , где n – количество десятичных знаков, содержащихся в записиэтой дроби до периода: x10 n).

2) Умножая обе части последнего равенства на 100, находим

1000x = 218,1818…(Умножая на 10 k , где k – количество цифр впериоде x10 n 10 k = x10 n+k).

3) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 990x = 216, x = .

Практическая часть.

1. Записать в виде десятичной дроби:

1)– на доске;

3)– за доской один учащийся записывает решение, остальные решают на местах, потомпроверяют друг друга;

4)– под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух.

2. Выполнить действия и записать результат в виде десятичной дроби:

1)– на доске;

3)– под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух;

5)– самостоятельно с последующей проверкой.

3. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь:

6) -2,3(82) – преподаватель показывает на доске решение, опираясь наалгоритм.

Источник: https://ik-ptz.ru/testy-ege---2017-po-matematike/numbers-are-natural-and-types-of-numbers.html

Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа

Виды чисел. Натуральные, целые, рациональные и действительные. Целые числа

Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ -является подмножеством множества действительных чисел $\mathbb{R}$, для которого справедливо:

  1. $1 \in \mathbb{N}$ 
  2. из $k \in \mathbb{N}$ следует $k+1 \in \mathbb{N}$ 
  3. если подмножество $M$ множества $\mathbb{N}$ удовлетворяет условиям 1. и 2, тогда $ M = \mathbb{N}$. 

$$\mathbb{N} = \left\{ {1,2,….,n,…} \right\}$$

Множество целых чисел $\mathbb{Z} = \left\{ {0, + 1, – 1, + 2, – 2,…, + n, – n,…} \right\}$ – подмножество множества действительных чисел $\mathbb{R}$, такое, что $$\mathbb{Z} = \left\{ {x \in \mathbb{R} \left| {x = m – k,{\rm{ }}m,k \in \mathbb{N} } \right.} \right\}$$

Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ подмножество множества действительных чисел $\mathbb{R}$, такое, что $$\mathbb{Q} = \left\{ {x \in \mathbb{R} \left| x \right. = \frac{p}{q},{\rm{ }}p,q \in \mathbb{Z},{\rm{ }}q e 0} \right\}$$

Множество иррациональных чисел $\mathbb{I}$ подмножество множества действительных чисел $\mathbb{R}$, такое, что $$\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$$

Справедливо следующее утверждение: $$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $$

Приближенное значение

Пусть $x*$ -приближенное значение числа $x$. Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее. $$\Delta \left( {x*} \right) = x – x*,$$ 

Иначе говоря, надо найти модуль разности точного и приближенного значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью. $$\left| {\Delta \left( {x*} \right)} \right| = \left| {x – x*} \right|.$$

Число ${\Delta _{{x*}}}$, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью приближенного значения $x*$. $$\left| {\Delta \left( {x*} \right)} \right| \le {\Delta _{{x*}}}$$

Относительной погрешностью приближенного значения $x* e 0$ называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения: $$\delta \left( {x*} \right) = \frac{{\left| {\Delta \left( {x*} \right)} \right|}}{{\left| {x*} \right|}} = \frac{{\left| {x – x*} \right|}}{{x*}}$$

Число ${\delta _{{x*}}}$, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью приближенного значения $x*$. $$\delta \left( {{x*}} \right) \le {\delta _{{x*}}}$$

Если известна предельная абсолютная погрешность ${\Delta _{{x*}}}$, за предельную относительную погрешность можно взять $${\delta _{{x*}}} = \frac{{{\Delta _{{x*}}}}}{{\left| {{x*}} \right|}},$$ число $x$ записывается в виде: $$x = {x*}\left( {1 \pm {\delta _{{x*}}}} \right)$$

Можно представить относительную погрешность в процентах – в этом случае её нужно умножить на 100. Так вы узнаете, какой процент от полученного вами значения составляет погрешность.

Формы записи приближенных чисел

Приближенные числа записываются либо в виде конечных десятичных дробей, либо в виде целых чисел.

Естественной (позиционной, с фиксированной точкой) формой записи конечной десятичной дроби называется следующая запись

$${x*} = \pm \left( {{a_n} \cdot {{10}n} + {a_{n – 1}} \cdot {{10}{n – 1}} + …. + {a_{0}} \cdot {{10}{0}} + {a_{-1}} \cdot {{10}{-1}}+ … + {a_{- m}} \cdot {{10}{- m}}} \right).$$

Определение естественной (позиционной, с фиксированной точкой) формой записи целого числа дается аналогично.

Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Например, число 1.7230 имеет 5 значащих цифер, а число 0.0491 имеет 3 значащих цифры.

Цифра приближенногочисла называется верной в широком смысле, если абсолютная (предельная абсолютная) погрешность этого числа не превосходит единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре, в противном случае сомнительной в широком смысле.

Цифра приближенногочисла называется верной в узком смысле, если абсолютная (предельная абсолютная) погрешность этого числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре, в противном случае сомнительной в узком смысле.

Приближенное значение $x*$ числа $x$ для которого

$$\left| {x – {x*}} \right| \le \omega \cdot {10{n – m + 1}},\omega \in \left[ {0.5,1} \right]$$

имеет $m$ значащих цифр, верных в узком смысле, если $\omega = 0.5$ и верных в узком смысле, если $\omega = 1$.

Источник: http://www.rajak.rs/ru/opredeleniya/arifmetika-i-algebra/naturalnye-celye-racionalnye-i-irracionalnye-cisla-84.html

Числа

Виды чисел. Натуральные, целые, рациональные и действительные. Целые числа
1. $a < b$ or $a=b$ or $a > b$ трихотомия2. если $a\leq b$ и $b\leq a$, то $a=b$ антисимметрия3. если $a\leq b$ и $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивность4. если $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$

5. если $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

Примеры целых чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120…$

Решение уравнения$a+x=b$, где $a$ и $b$ – известные натуральные числа, а $x$ – неизвестное натуральное число, требует введения новой операции – вычитания(-). Если существует натуральное число $x$, удовлетворяющее этому уравнению, то $x=b-a$.

Однако, это конкретное уравнение не обязательно имеет решение на множестве $\mathbb{N}$, поэтому практические соображения требуют расширения множества натуральных чисел таким образом, чтобы включить решения такого уравнения.

Это приводит к введению множества целых чисел: $\mathbb{Z}=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3…\rbrace$.

Поскольку $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, логично предположить, что введенные ранее операции $+$ и $\cdot$ и отношения $1. $0+a=a+0=a$ существует нейтральный элемент для сложения2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ существует противоположное число $-a$ для $a$

Свойство 5.:
5. если $0\leq a$ и $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$

Множество $\mathbb{Z} $ замкнуто также и относительно операции вычитания, то есть $(\forall a,b\in \mathbb{Z})(a-b\in \mathbb{Z})$.

Рациональные числа $\mathbb{Q}$

Примеры рациональных чисел:
$\frac{1}{2}, \frac{4}{7}, -\frac{5}{8}, \frac{10}{20}…$

Теперь рассмотрим уравнения вида$a\cdot x=b$, где $a$ и $b$ – известные целые числа, а $x$ – неизвестное. Чтобы решение было возможным, необходимо ввести операцию деления ($:$), и решение приобретает вид $x=b:a$, то есть $x=\frac{b}{a}$.

Опять возникает проблема, что $x$ не всегда принадлежит $\mathbb{Z}$, поэтому множество целых чисел необходимо расширить. Таким образом вводится множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с элементами $\frac{p}{q}$, где $p\in \mathbb{Z}$ и $q\in \mathbb{N}$.

Множество $\mathbb{Z}$ является подмножеством, в котором каждый элемент $q=1$, следовательно $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ и операции сложения и умножения распространяются и на это множество по следующим правилам, которые сохраняют все вышеперечисленные свойства и на множестве $\mathbb{Q}$:$\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1}{q_1\cdot q_2}$

$\frac{p-1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot p_2}{q_1\cdot q_2}$

Деление вводится таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}:\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{q_2}{p_2}$

На множестве $\mathbb{Q}$ уравнение $a\cdot x=b$ имеет единственное решение для каждого $aeq 0$ (деление на ноль не определено). Это значит, что существует обратный элемент$\frac{1}{a}$ or $a{-1}$:
$(\forall a\in \mathbb{Q}\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac{1}{a})(a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=a)$

Порядок множества $\mathbb{Q}$ можно расширить таким образом:
$\frac{p_1}{q_1} < \frac{p_2}{q_2}\Leftrightarrow p_1\cdot q_2 < p_2\cdot q_1$

Множество $\mathbb{Q}$ имеет одно важное свойство: между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, следовательно, не существует двух соседних рациональных чисел, в отличие от множеств натуральных и целых чисел.

Примеры иррациональных чисел:$\sqrt{2} \approx 1.41422135…$

$\pi \approx 3.1415926535…$

Ввиду того, что между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, легко можно сделать ошибочный вывод, что множество рациональных чисел настолько плотное, что нет необходимости в его дальнейшем расширении.

Даже Пифагор в свое время сделал такую ошибку. Однако, уже его современники опровергли этот вывод при исследовании решений уравнения$x\cdot x=2$ ($x2=2$) на множестве рациональных чисел.

Для решения такого уравнения необходимо ввести понятие квадратного корня, и тогда решение этого уравнения имеет вид $x=\sqrt{2}$.

Уравнение типа $x2=a$, где $a$ – известное рациональное число, а $x$ – неизвестное, не всегда имеет решение на множестве рациональных чисел, и опять возникает необходимость в расширении множества. Возникает множество иррациональных чисел, и такие числа как $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$… принадлежат этому множеству.

Действительные числа $\mathbb{R}$

Объединением множеств рациональных и иррациональных чисел является множество действительных чисел.Поскольку $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, снова логично предположить, что введенные арифметические операции и отношения сохраняют свои свойства на новом множестве.

Формальное доказательство этого весьма сложно, поэтому вышеупомянутые свойства арифметических операций и отношения на множестве действительных чисел вводятся как аксиомы.

В алгебре такой объект называется полем, поэтому говорят, что множество действительных чисел является упорядоченным полем.

Для того, чтобы определение множества действительных чисел было полным, необходимо ввести дополнительную аксиому, различающую множества$\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$. Предположим, что $S$ – непустое подмножество множества действительных чисел.

Элемент $b\in \mathbb{R}$ называется верхней границей множества $S$, если $\forall x\in S$ справедливо $x\leq b$. Тогда говорят, что множество $S$ ограничено сверху. Наименьшая верхняя граница множества $S$ называется супремум и обозначается $\sup S$.

Аналогично вводятся понятия нижней границы, множества, ограниченного снизу, и инфинума $\inf S$ . Теперь недостающая аксиома формулируется следующим образом:

Любое непустое и ограниченное сверху подмножество множества действительных чисел имеет супремум.
Также можно доказать, что поле действительных чисел, определенное вышеуказанным образом, является единственным.

Комплексные числа$\mathbb{C}$

Примеры комплексных чисел:$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),…$

$1 + 5i, 2 – 4i, -7 + 6i…$ где $i = \sqrt{-1}$ или $i2 = -1$

Множество комплексных чисел представляет собой все упорядоченные пары действительных чисел, то есть $\mathbb{C}=\mathbb{R}2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, на котором операции сложения и умножения определены следующим образом: $(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Существует несколько форм записи комплексных чисел, из которых самая распространенная имеет вид$z=a+ib$, где $(a,b)$ – пара действительных чисел, а число $i=(0,1)$ называется мнимой единицей.

Легко показать, что $i2=-1$. Расширение множества $\mathbb{R}$ на множество $\mathbb{C}$ позволяет определить квадратный корень из отрицательных чисел, что и послужило причиной введения множества комплексных чисел.

Также легко показать, что подмножество множества $\mathbb{C}$, заданное как $\mathbb{C}_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb{R}\rbrace$, удовлетворяет всем аксиомам для действительных чисел, следовательно $\mathbb{C}_0=\mathbb{R}$, или $R\subset\mathbb{C}$.

Алгебраическая структура множества $\mathbb{C}$ относительно операций сложения и умножения имеет следующие свойства:1. коммутативность сложения и умножения2. ассоциативность сложения и умножения3.

$0+i0$ – нейтральный элемент для сложения4. $1+i0$ – нейтральный элемент для умножения5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению

6.

существует единственный обратный элемент как для сложения, так и для умножения.

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/chisla.html

Числовые множества | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия

Виды чисел. Натуральные, целые, рациональные и действительные. Целые числа

ЕГЭ по математике — экзамен чисто практический. Однако знания о том, какие бывают числа, необходимы при решении многих задач.

Первые числа, которыми люди начали пользоваться в доисторические ещё времена — это натуральные числа, то есть целые и положительные: 1, 2, 3, . . .

Натуральные числа — это числа, применяемые для счёта предметов. Натуральные числа можно использовать в качестве номеров.

Наименьшее натуральное число — единица¹. Числа 21, 249, 30988 являются натуральными. Все вместе они составляют множество натуральных чисел, обозначаемое буквой N:

N = {1, 2, 3, . . .}.

Что же такое множество? Это одно из первичных понятий математики, т. е. таких, которые лежат в основе логической системы и уже не определяются через другие понятия. Интуитивно мы понимаем, что множество — это набор или совокупность элементов, объединенных каким-либо общим признаком.

Множества обычно обозначаются заглавными буквами. Множество натуральных чисел мы можем условно изобразить вот так:

Но числа бывают не только натуральными. Индийцы изобрели число ноль и отрицательные числа. Теперь они для нас привычны, но когда-то европейцы — древние греки и римляне — долгое время обходились без нуля. Сейчас нам трудно это представить.

Натуральные числа, целые отрицательные числа и ноль вместе составляют множество целых чисел, которое обозначается Z :

Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .}

Например, получая в тригонометрическом уравнении серию решений, мы пишем: n ∈ Z, и это означает, что n — целое число.

Очевидно, множество целых чисел включает в себя множество натуральных:

Кроме целых чисел, однако, имеются ещё и дроби.

Напомним, что дробь — это часть, доля, выражение вида (где p — целое, а q — натуральное). Например, — это «одна часть из трёх», 0,25 — это двадцать пять сотых. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например, .

А если вы вдруг забыли, как десятичную дробь перевести в обыкновенную, как складывать и умножать дроби или как их сокращать — срочно обращайтесь к нам за консультацией! Без этих простейших навыков готовиться к ЕГЭ будет крайне сложно.

Целые числа (положительные и отрицательные) также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем 1:

Стало быть, целые числа — частный случай дробей.

Числа, которые можно записать в виде дроби , называются рациональными. Множество рациональных чисел обозначается Q. Ясно, что оно включает в себя множество целых чисел.

Хорошо, но любое ли число можно записать в виде дроби ? Иными словами, все ли числа являются рациональными?

Долгое время — в античности — считалось, что любое число можно записать в виде дроби с числителем и знаменателем. Дело в том, что для древних греков числа и их соотношения были почти священны. Пифагорейцы говорили: «Числа правят миром».

Они верили, что все основные принципы мироздания можно выразить языком математики, что соотношения чисел выражают гармонию, закон и порядок природы, перед которым склоняют голову даже олимпийские боги. Греческое искусство, особенно архитектура, подчинялось правилам, канонам.

Греки точно установили, какими должны быть пропорции в архитектуре — например, отношение диаметра колонны к её длине — чтобы здание было гармоничным. И все эти пропорции были отношениями целых чисел.

Однако в стройной и гармоничной системе божественных пропорций наметилась досадная брешь. Оказалось, что отношение диагонали квадрата к его стороне не выражается отношением целых чисел! Другими словами, если мы нарисуем квадрат со стороной 1, его диагональ не выражается никакой дробью вида .

По теореме Пифагора диагональ такого квадрата равна — то есть положительному числу, квадрат которого равен двум. Можно доказать, что это число не является рациональным. Но сами пифагорейцы не сразу смоги смириться с тем, что невозможно записать в виде — ведь это наносило удар всей их философской системе!

Открытие долго держалось в тайне, пока наконец ученик Пифагора Гиппас не разгласил его. За это Гиппас был изгнан из школы Пифагора и вскоре погиб во время кораблекрушения, в чём современники увидели несомненное возмездие богов. А числа, которые невозможно записать в виде , такие, как , назвали иррациональными, то есть не-разумными, неправильными.

Но иррациональные числа ничуть не хуже рациональных! Они отнюдь не ограничиваются выражениями вида или . К ним относятся также:

  • число

    Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/chislovye-mnozhestva/

    1. Множества натуральных, целых, рациональных чисел

    Виды чисел. Натуральные, целые, рациональные и действительные. Целые числа

     1. Натуральныечисла −числа, используемые при счете (перечислении)предметов: N ={1, 2, 3, …}

    1,2. Натуральныечисла с включенным нулем −числа, используемые для обозначенияколичества предметов: N0 ={0, 1, 2, 3, …}

    2. Целыечисла −включают в себя натуральные числа, числапротивоположные натуральным(т.е. сотрицательным знаком) и ноль.Целыеположительные числаZ + = N ={1, 2, 3, …} Целыеотрицательные числаZ − ={…, −3, −2, −1} Z = Z − ∪{0} ∪ Z + ={…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

    3. Рациональныечисла −числа, представляемые в виде обыкновеннойдроби a/b,где a и b −целые числа и b ≠0. Q ={x | x = a/ba ∈ Zb ∈ Zb ≠0}  При переводе в десятичную дробьрациональное число представляетсяконечной или бесконечной периодическойдробью.

    Множествообозначают символомA={x},гдеx-общее наименование элементов множестваA.Часто множество записывают в видеA={a,b,c,…}, где в фигурных скобках указаныэлементы множестваA.

    Будемпользоваться обозначениями:

    N-множество всех натуральных чисел;Z-множество всех целых чисел;Q-множество всех рациональных чисел;R-множество всех действительных чисел;C-множество всех комплексных чисел;Z0-множество всех неотрицательных целыхчисел.

    Запись(или)означает, что элементaпринадлежитмножествуA.

    Запись(или)означает, что элементaнепринадлежит множествуA.

    2. Множество действительных чисел

    Множестводействительных чисел -это вместе взятые множества рациональныхи иррациональных чисел.

    Действительноечисло иликак его еще называют вещественноечисло -это любое положительное число,отрицательное число или нуль.

    Действительныечисла разделяются на рациональные и иррациональные.

    Вещественные(действительные) числа – это своего родаматематическая абстракция, служащаядля представления физических величин.

    Такие числа могут быть интуитивнопредставлены как отношение двух величинодной размерности, или описывающиеположение точек на прямой. Множествовещественных чисел обозначается и частоназывается вещественной или числовойпрямой.

    Формально вещественные числасостоят из более простых объектов таких,как целые ирациональные числа. Множестводействительных чисел обозначается- R

    3. Последовательность. Понятие последовательности

    Еслифункция определена на множественатуральных чисел N, то такая функцияназывается бесконечной числовойпоследовательностью. Обычно числовыепоследовательность обозначают как(Xn),где n принадлежит множеству натуральныхчисел N.

    Числоваяпоследовательность может быть заданаформулой. Например, Xn=1/(2*n). Таким образоммы ставим в соответствие каждомунатуральному числу n некоторый определенныйэлемент последовательности (Xn).

    Еслитеперь последовательно брать n равными1,2,3, …., мы получим последовательность(Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …  

    Видыпоследовательности:

    Последовательностьможет быть ограниченной или неограниченной,возрастающей или убывающей.

    Последовательность(Xn) называет ограниченной, еслисуществуют два числа m и M такие, что длялюбого n принадлежащего множествунатуральных чисел, будет выполнятьсяравенство m Xn. Другимисловами, каждый член последовательности,начиная со второго, должен быть большепредыдущего члена.

    Последовательность(Xn) называется убывающей, еслидля всех натуральных n выполняетсяследующее равенство X(n+1) < Xn. Иначеговоря, каждый член последовательности,начиная со второго, должен быть меньшепредыдущего члена.

    Примерпоследовательности

    Проверим,являются ли последовательности 1/n и(n-1)/n убывающими.

    Еслипоследовательность убывающая, то X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) – Xn < 0.

    1/n:

    X(n+1)– Xn = 1/(n+1) – 1/n = -1/(n*(n+1)) < 0. Значитпоследовательность 1/n убывающая.

    (n-1)/n:

    X(n+1)– Xn =n/(n+1) – (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Значитпоследовательность (n-1)/n возрастающая.

    Источник: https://studfile.net/preview/6396893/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.